1. संख्या प्रणाली क्या है?
संख्या प्रणाली वह विधि है जिससे संख्याओं को दर्शाया, लिखा और गणना की जाती है। यह विभिन्न संख्याओं और उनके गुणों का अध्ययन करने में मदद करती है।
2. संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)
संख्याओं को उनके गुणों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक प्रकार को उदाहरण सहित समझाया गया है।
(i) प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers – NNN)
परिभाषा: वे संख्याएँ जो गिनती में प्रयोग होती हैं, 1 से शुरू होती हैं और अनंत तक जाती हैं।
प्रतीक: N={1,2,3,4,5,…}N = \{1, 2, 3, 4, 5, …\}N={1,2,3,4,5,…}
उदाहरण:
- 2, 5, 10 प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
- 0, -3, 1.5 प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं।
(ii) पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers – WWW)
परिभाषा: प्राकृतिक संख्याओं में 0 जोड़ने से पूर्ण संख्याएँ बनती हैं।
प्रतीक: W={0,1,2,3,…}W = \{0, 1, 2, 3, …\}W={0,1,2,3,…}
उदाहरण:
- 0, 3, 15 पूर्ण संख्याएँ हैं।
- -2, 1.5 पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं।
(iii) पूर्णांक (Integers – ZZZ)
परिभाषा: वे संख्याएँ जो धनात्मक (Positive), ऋणात्मक (Negative), और शून्य (0) को शामिल करती हैं।
प्रतीक: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\}Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
उदाहरण:
- -5, 0, 8 पूर्णांक हैं।
- 2.5, 34\frac{3}{4}43 पूर्णांक नहीं हैं।
(iv) परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers – QQQ)
परिभाषा: वे संख्याएँ जो pq\frac{p}{q}qp के रूप में लिखी जा सकती हैं, जहाँ p,qp, qp,q पूर्णांक हैं और q≠0q \neq 0q=0।
प्रतीक: Q={pq∣p,q∈Z,q≠0}Q = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in Z, q \neq 0 \right\}Q={qp∣p,q∈Z,q=0}
उदाहरण:
- 34,−2,0.5\frac{3}{4}, -2, 0.543,−2,0.5 परिमेय संख्याएँ हैं।
- 2,π\sqrt{2}, \pi2,π परिमेय संख्याएँ नहीं हैं।
👉 स्पष्टता के लिए:
0.5=120.5 = \frac{1}{2}0.5=21 → परिमेय संख्या
3=313 = \frac{3}{1}3=13 → परिमेय संख्या
(v) अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers – Q′Q’Q′)
परिभाषा: वे संख्याएँ जो दशमलव में अनंत चलती हैं और दोहराती नहीं हैं।
उदाहरण:
- 2,π,1.414213…\sqrt{2}, \pi, 1.414213…2,π,1.414213… अपरिमेय संख्याएँ हैं।
- 0.5,340.5, \frac{3}{4}0.5,43 अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं।
(vi) वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers – RRR)
परिभाषा: परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह वास्तविक संख्या कहलाता है।
उदाहरण:
- 5,34,2,π5, \frac{3}{4}, \sqrt{2}, \pi5,43,2,π वास्तविक संख्याएँ हैं।
- कल्पनिक संख्या (जैसे −1\sqrt{-1}−1) वास्तविक संख्या नहीं हैं।
3. संख्याओं की विशेषताएँ (Properties of Numbers)
(i) सम और विषम संख्याएँ (Even and Odd Numbers)
- सम संख्या: जो 2 से विभाजित हो जाए।
- उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10…
- विषम संख्या: जो 2 से विभाजित न हो।
- उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9…
(ii) अभाज्य और संयोज्य संख्याएँ (Prime and Composite Numbers)
- अभाज्य संख्या: जिनके केवल 2 गुणनखंड होते हैं – 1 और स्वयं।
- उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11…
- संयोज्य संख्या: जिनके एक से अधिक गुणनखंड होते हैं।
- उदाहरण: 4 (1,2,4), 6 (1,2,3,6), 9 (1,3,9)…
4. विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules)
👉 संख्या को तेजी से जाँचने के लिए ये नियम उपयोगी हैं।
| संख्या | विभाज्यता नियम | उदाहरण |
| 2 | अंतिम अंक 0,2,4,6,8 हो | 246, 80 ✅ |
| 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य हो | 231 → 2+3+1=62+3+1=62+3+1=6 ✅ |
| 5 | अंतिम अंक 0 या 5 हो | 35, 90 ✅ |
| 7 | संख्याओं को 7 से विभाजित करें | 343 → 343÷7=49343 ÷ 7 = 49343÷7=49 ✅ |
| 11 | वैकल्पिक अंकों का योग निकालें, उनका अंतर 11 से विभाज्य हो | 121 → (1+1)−2=0(1+1) – 2 = 0(1+1)−2=0 ✅ |
5. HCF और LCM निकालने के तरीके
उदाहरण: HCF और LCM निकालें: 12 और 18 के लिए
(i) HCF निकालना (Highest Common Factor)
12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18
सर्वाधिक सामान्य गुणनखंड = 6
(ii) LCM निकालना (Least Common Multiple)
12 और 18 के लघुत्तम गुणज = 36
✍ सूत्र:
HCF×LCM=संख्या1×संख्या2HCF × LCM = संख्या 1 × संख्या 2HCF×LCM=संख्या1×संख्या2 6×36=12×18✅6 × 36 = 12 × 18 ✅6×36=12×18✅
6. संख्या प्रणाली रूपांतरण (Number System Conversion)
बाइनरी से दाशमिक (Binary to Decimal) रूपांतरण:
10112=1×23+0×22+1×21+1×20=11101011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11_{10}10112=1×23+0×22+1×21+1×20=1110
निष्कर्ष (Conclusion)
संख्या प्रणाली गणित की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है। यदि इसे अच्छी तरह समझ लिया जाए, तो कई गणनाएँ आसान हो जाती हैं। HCF, LCM, विभाज्यता नियम और परिमेय-अपरिमेय संख्याओं को समझकर परीक्षा में बेहतर प्रदर्शन किया जा सकता है।
संख्या प्रणाली क्विज़
- द्विआधारी प्रणाली में कौन-कौन से अंक होते हैं?
(A) 0, 1
(B) 0-9
(C) 0-7
(D) 1-10 - कौन-सी संख्या अपरिमेय है?
(A) 1/2
(B) √2
(C) 4/5
(D) 0.75 - 45 और 60 का HCF क्या होगा?
(A) 5
(B) 15
(C) 10
(D) 20 - कौन-सी संख्या 9 से विभाजित होगी?
(A) 235
(B) 108
(C) 124
(D) 451 - यदि HCF = 4 और LCM = 48 हो, तो संख्याओं का गुणनफल क्या होगा?
(A) 52
(B) 192
(C) 48
(D) 4
उत्तर: 1-(A), 2-(B), 3-(B), 4-(B), 5-(B)