गणित विषय (Mathematics) – परीक्षा के लिए संपूर्ण नोट्स
1. द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
क्या है?
द्विघात समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसका मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है। इसमें:
a,b,cअचर हैं।a ≠ 0(अगरa = 0, तो यह रैखिक समीकरण हो जाएगा)।xचर है।
मूल क्या हैं?
द्विघात समीकरण के हल को “मूल” कहते हैं। मूल निकालने के लिए दो तरीके हैं:
द्विघात सूत्र:
- यहाँ,
b² - 4acको विविक्तकर कहते हैं।
विविक्तकर का महत्व:
- अगर
b² - 4ac > 0: दो अलग-अलग मूल होंगे। - अगर
b² - 4ac = 0: दो बराबर मूल होंगे। - अगर
b² - 4ac < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं होगा।
2. समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression)
क्या है?
समांतर श्रेणी (AP) एक ऐसी संख्याओं की लिस्ट है जहाँ हर अगली संख्या पिछली संख्या में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर मिलती है। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर कहते हैं।
महत्वपूर्ण बातें:
- nवाँ पद (nth Term):
- जहाँ:
a= पहला पदd= सार्व अंतर
- पहले n पदों का योग (Sum of First n Terms):
मॉक टेस्ट (Mock Test)
बेसिक स्तर (Basic Level)
प्रश्न 1:
समीकरण x² - 7x + 12 = 0 के मूल क्या हैं?
(A) 3, 4
(B) 2, 5
(C) 1, 6
(D) -3, -4
उत्तर: (A) 3, 4
प्रश्न 2:
एक AP का पहला पद a = 3 और सार्व अंतर d = 4 है। इस AP के पहले चार पद कौन-से हैं?
(A) 3, 7, 11, 15
(B) 3, 6, 9, 12
(C) 4, 8, 12, 16
(D) 3, 5, 7, 9
उत्तर: (A) 3, 7, 11, 15
इंटरमीडिएट स्तर (Intermediate Level)
प्रश्न 3:
समीकरण 3x² - 5x + 2 = 0 के मूल क्या हैं?
(A) 1, 2/3
(B) 2, 1/3
(C) -1, -2/3
(D) 1, -2/3
उत्तर: (A) 1, 2/3
प्रश्न 4:
एक AP का पहला पद a = 10 और सार्व अंतर d = -3 है। इस AP के पहले 6 पदों का योग क्या है?
(A) 3
(B) 15
(C) 21
(D) 27
उत्तर: (A) 3
एडवांस्ड स्तर (Advanced Level)
प्रश्न 5:
समीकरण 2x² - 3x - 5 = 0 के मूल क्या हैं?
(A) 2.5, -1
(B) -2.5, 1
(C) 1, -2
(D) 2, -1
उत्तर: (A) 2.5, -1
प्रश्न 6:
एक AP का 15वाँ पद T_{15} = 47 है और सार्व अंतर d = 3 है। इस AP का पहला पद क्या है?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
उत्तर: (A) 2
यह नोट्स आपकी परीक्षा के लिए बेहद महत्वपूर्ण हैं। अच्छे से पढ़ें और अभ्यास करें।