समरूप त्रिभुज का अध्ययन ज्यामिति में बहुत महत्वपूर्ण है। दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों।
Key Points:
- समरूप त्रिभुज के संगत कोण सदैव बराबर होते हैं।
- समरूप त्रिभुज की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
- समरूपता का प्रतीक ~ है।
Example:
यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो:
∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
और AB/DE = BC/EF = AC/DF
2. समरूपता के नियम (Criteria for Similarity of Triangles)
(a) AAA (Angle-Angle-Angle) समरूपता नियम
यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।
Example:
ΔABC और ΔPQR में, यदि ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R, तो ΔABC ~ ΔPQR।
(b) SSS (Side-Side-Side) समरूपता नियम
यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो वे समरूप होते हैं।
Example:
ΔABC और ΔXYZ में, यदि AB/XY = BC/YZ = AC/XZ, तो ΔABC ~ ΔXYZ।
(c) SAS (Side-Angle-Side) समरूपता नियम
यदि दो त्रिभुजों की दो संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो वे समरूप होते हैं।
Example:
ΔABC और ΔDEF में, यदि AB/DE = AC/DF और ∠A = ∠D, तो ΔABC ~ ΔDEF।
3. समरूप त्रिभुजों के गुण (Properties of Similar Triangles)
(a) क्षेत्रफल का अनुपात
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
Formula:
यदि ΔABC ~ ΔDEF, तो
Area(ΔABC)/Area(ΔDEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²
Example:
यदि ΔABC ~ ΔDEF और AB/DE = 2/3, तो Area(ΔABC)/Area(ΔDEF) = (2/3)² = 4/9।
(b) ऊँचाई का अनुपात
दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
Example:
यदि ΔABC ~ ΔDEF और AB/DE = 3/5, तो ऊँचाई का अनुपात भी 3/5 होगा।
4. थेल्स का प्रमेय (Thales’ Theorem)
थेल्स का प्रमेय समरूपता का एक महत्वपूर्ण उपयोग है। इसके अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
Example:
ΔABC में, यदि DE || BC, तो AD/DB = AE/EC।
उदाहरण (Examples)
Example 1:
ΔABC ~ ΔDEF, और AB = 6 cm, DE = 9 cm, BC = 8 cm। EF का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:
AB/DE = BC/EF
6/9 = 8/EF
EF = (8 × 9)/6 = 12 cm
Example 2:
ΔPQR ~ ΔXYZ, और PQ = 4 cm, QR = 6 cm, PR = 8 cm। XY = 2 cm है, तो XZ का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:
PQ/XY = PR/XZ
4/2 = 8/XZ
XZ = (8 × 2)/4 = 4 cm
इन नोट्स को समझने और याद रखने के लिए उदाहरणों का अभ्यास करें। अपने आत्मविश्वास को बढ़ाने के लिए मॉक टेस्ट का प्रयास करें।
6. मॉक टेस्ट (Mock Test)
Q1. यदि ΔABC ~ ΔDEF और AB = 5 cm, DE = 10 cm, तो दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?
(a) 1:2
(b) 2:1
(c) 1:3
(d) 3:1
Answer: (a) 1:2
Q2. थेल्स के प्रमेय के अनुसार, यदि DE || BC, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
(a) AD/DB = AE/EC
(b) AD/DB = EC/AE
(c) AD/DB = AB/AC
(d) AD/DB = BC/DE
Answer: (a) AD/DB = AE/EC
Q3. ΔABC ~ ΔPQR, और AB = 8 cm, PQ = 12 cm, BC = 10 cm। QR का मान क्या होगा?
(a) 12 cm
(b) 15 cm
(c) 18 cm
(d) 20 cm
Answer: (b) 15 cm
Q4. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16:25 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?
(a) 4:5
(b) 5:4
(c) 16:25
(d) 25:16
Answer: (a) 4:5
Q5. ΔXYZ ~ ΔLMN, और XY = 6 cm, LM = 9 cm, YZ = 8 cm। MN का मान क्या होगा?
(a) 10 cm
(b) 12 cm
(c) 14 cm
(d) 16 cm
Answer: (b) 12 cm
Q6. एक त्रिभुज ABC में, DE || BC और AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 4 cm। EC का मान क्या होगा?
(a) 6 cm
(b) 8 cm
(c) 10 cm
(d) 12 cm
Answer: (b) 8 cm
7. उत्तर (Answers)
- (a) 1:2
- (a) AD/DB = AE/EC
- (b) 15 cm
- (a) 4:5
- (b) 12 cm
- (b) 8 cm