पाइथागोरस प्रमेय गणित का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है, जो समकोण त्रिभुज (Right-Angled Triangle) से संबंधित है। यह प्रमेय तीनों भुजाओं के बीच संबंध को दर्शाता है।
- पाइथागोरस प्रमेय का कथन:
- 2. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग (Applications of Pythagoras Theorem)
- 3. पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (Formula of Pythagoras Theorem)
- 4. उदाहरण (Examples)
- 5. पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplets)
- 6. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग दूरी ज्ञात करने में (Using Pythagoras Theorem to Find Distance)
- मॉक टेस्ट (Mock Test)
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पाइथागोरस प्रमेय का कथन:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (Hypotenuse) का वर्ग, अन्य दो भुजाओं (लंब और आधार) के वर्गों के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप में:
c2=a2+b2
- c = कर्ण (Hypotenuse)
- a = लंब (Perpendicular)
- b = आधार (Base)
2. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग (Applications of Pythagoras Theorem)
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में किया जाता है:
- त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने में:
यदि दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो तीसरी भुजा ज्ञात की जा सकती है। - दूरी ज्ञात करने में:
दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है। - निर्माण और इंजीनियरिंग में:
इमारतों के डिजाइन और संरचना में सही कोण बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। - त्रिकोणमिति में:
त्रिकोणमितीय फलनों को समझने में यह महत्वपूर्ण है।
3. पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र (Formula of Pythagoras Theorem)
c2=a2+b2
यह सूत्र समकोण त्रिभुज के लिए हमेशा सत्य होता है।
4. उदाहरण (Examples)
उदाहरण 1:
एक समकोण त्रिभुज में, लंब (a) = 3 इकाई और आधार (b) = 4 इकाई है। कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 2:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (c) = 13 इकाई और आधार (b) = 5 इकाई है। लंब (a) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
5. पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean Triplets)
ऐसे तीन संख्याएँ जो पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, पाइथागोरस त्रिक कहलाती हैं।
6. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग दूरी ज्ञात करने में (Using Pythagoras Theorem to Find Distance)
मॉक टेस्ट (Mock Test)
स्तर 1: बेसिक (Basic Level)
- एक समकोण त्रिभुज में, लंब = 6 इकाई और आधार = 8 इकाई है। कर्ण की लंबाई क्या है?
(a) 10 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 14 इकाई
(d) 16 इकाई - निम्नलिखित में से कौन सा पाइथागोरस त्रिक है?
(a) 5,12,13
(b) 7,24,25
(c) 9,40,41
(d) उपरोक्त सभी
स्तर 2: मध्यम (Intermediate Level)
- एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण = 17 इकाई और लंब = 15 इकाई है। आधार की लंबाई क्या है?
(a) 6 इकाई
(b) 8 इकाई
(c) 10 इकाई
(d) 12 इकाई - बिंदु P(2,3) और Q(5,7) के बीच की दूरी क्या है?
(a) 3 इकाई
(b) 4 इकाई
(c) 5 इकाई
(d) 6 इकाई
स्तर 3: उन्नत (Advanced Level)
- एक समकोण त्रिभुज का कर्ण 25 इकाई है। यदि एक भुजा 7 इकाई है, तो दूसरी भुजा की लंबाई क्या है?
(a) 20 इकाई
(b) 22 इकाई
(c) 24 इकाई
(d) 26 इकाई
पाइथागोरस प्रमेय को समझने के लिए अधिक से अधिक उदाहरण हल करें और इसे वास्तविक जीवन की समस्याओं में लागू करने का प्रयास करें।