त्रिकोणमिति की एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग है ऊँचाई और दूरी की गणना। जब हम किसी पहाड़, इमारत, मीनार या पेड़ जैसी वस्तुओं की ऊँचाई या दूरी को सीधे नाप नहीं सकते, तब त्रिकोणमिति हमारी मदद करती है। त्रिकोणमितीय अनुपातों और कोणों का उपयोग करके, हम अप्रत्यक्ष रूप से इन मापों की गणना कर सकते हैं।
- मूलभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)
- ऊँचाई और दूरी के लिए प्रमुख सूत्र (Key Formulas for Heights and Distances)
- विस्तृत उदाहरण (Detailed Examples)
- समस्या समाधान के लिए विशेष तकनीकें (Special Techniques for Problem Solving)
- साधारण और विशेष त्रिभुज (Common and Special Triangles)
- व्यावहारिक अनुप्रयोग (Practical Applications)
- अभ्यास प्रश्न (Mock Test)
- उत्तर कुंजी (Answer Key)
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मूलभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)
1. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
जब हम अपनी आँखों के स्तर से ऊपर की ओर किसी वस्तु को देखते हैं, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बना कोण उन्नयन कोण कहलाता है। जैसे जब हम जमीन पर खड़े होकर किसी इमारत के शीर्ष को देखते हैं, तो हमारी नज़र ऊपर की ओर जाती है।
2. अवनमन कोण (Angle of Depression)
जब हम अपनी आँखों के स्तर से नीचे की ओर किसी वस्तु को देखते हैं, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बना कोण अवनमन कोण कहलाता है। जैसे जब हम किसी ऊँची इमारत से नीचे सड़क पर खड़े व्यक्ति को देखते हैं।
3. महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय अनुपात (Important Trigonometric Ratios)
त्रिकोणमिति में तीन मूलभूत अनुपात हैं जिनका उपयोग ऊँचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है:
- sin θ = लंब / कर्ण (Perpendicular / Hypotenuse)
- cos θ = आधार / कर्ण (Base / Hypotenuse)
- tan θ = लंब / आधार (Perpendicular / Base)
4. विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय मान (Values for Special Angles)
कोण (θ)sin θcos θtan θ0°01030°1/2√3/21/√345°1/√21/√2160°√3/21/2√390°10∞
ऊँचाई और दूरी के लिए प्रमुख सूत्र (Key Formulas for Heights and Distances)
ऊँचाई की गणना (Calculation of Height)
1. एक स्थिति से ऊँचाई की गणना:
जब आप किसी वस्तु से एक निश्चित दूरी पर खड़े हों और उसके शीर्ष का उन्नयन कोण ज्ञात हो:
- ऊँचाई = दूरी × tan(उन्नयन कोण) + प्रेक्षक की आँखों की ऊँचाई
2. दो अलग-अलग स्थितियों से ऊँचाई की गणना:
जब आप दो अलग-अलग स्थानों से एक ही वस्तु को देखें:
- ऊँचाई = दो बिंदुओं के बीच की दूरी × tan(पहला उन्नयन कोण) × tan(दूसरा उन्नयन कोण) / [tan(दूसरा उन्नयन कोण) – tan(पहला उन्नयन कोण)]
दूरी की गणना (Calculation of Distance)
1. उन्नयन कोण से दूरी की गणना:
जब ऊँचाई ज्ञात हो और उन्नयन कोण भी ज्ञात हो:
- दूरी = (ऊँचाई – प्रेक्षक की आँखों की ऊँचाई) / tan(उन्नयन कोण)
2. अवनमन कोण से दूरी की गणना:
जब प्रेक्षक ऊँचाई पर हो और नीचे की वस्तु का अवनमन कोण ज्ञात हो:
- दूरी = (प्रेक्षक की ऊँचाई – वस्तु की ऊँचाई) / tan(अवनमन कोण)
विस्तृत उदाहरण (Detailed Examples)
उदाहरण 1: उन्नयन कोण का उपयोग करके ऊँचाई ज्ञात करना
प्रश्न: एक व्यक्ति, जिसकी आँखों की ऊँचाई जमीन से 1.5 मीटर है, एक इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° देखता है। यदि व्यक्ति इमारत से 50 मीटर की दूरी पर खड़ा है, तो इमारत की ऊँचाई क्या होगी?
समाधान:
चरण 1: सभी दी गई जानकारी को लिखें:
- उन्नयन कोण (θ) = 30°
- व्यक्ति की आँखों की ऊँचाई = 1.5 मीटर
- व्यक्ति और इमारत के बीच की दूरी = 50 मीटर
चरण 2: इमारत की ऊँचाई के लिए सूत्र का उपयोग करें:
- ऊँचाई = दूरी × tan(उन्नयन कोण) + व्यक्ति की आँखों की ऊँचाई
चरण 3: मान रखें और गणना करें:
- ऊँचाई = 50 × tan(30°) + 1.5
- ऊँचाई = 50 × (1/√3) + 1.5
- ऊँचाई = 50 × 0.577 + 1.5
- ऊँचाई = 28.85 + 1.5
- ऊँचाई = 30.35 मीटर
इसलिए, इमारत की ऊँचाई 30.35 मीटर है।
उदाहरण 2: अवनमन कोण का उपयोग करके दूरी ज्ञात करना
प्रश्न: एक 100 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष से, एक व्यक्ति जमीन पर स्थित एक कार का अवनमन कोण 60° देखता है। कार और इमारत के बीच की क्षैतिज दूरी क्या है?
समाधान:
चरण 1: सभी दी गई जानकारी को लिखें:
- इमारत की ऊँचाई = 100 मीटर
- अवनमन कोण (θ) = 60°
- कार की ऊँचाई = 0 मीटर (जमीन पर है)
चरण 2: दूरी के लिए सूत्र का उपयोग करें:
- दूरी = (प्रेक्षक की ऊँचाई – वस्तु की ऊँचाई) / tan(अवनमन कोण)
- दूरी = (100 – 0) / tan(60°)
चरण 3: मान रखें और गणना करें:
- दूरी = 100 / tan(60°)
- दूरी = 100 / √3
- दूरी = 100 / 1.732
- दूरी = 57.74 मीटर
इसलिए, कार और इमारत के बीच की क्षैतिज दूरी 57.74 मीटर है।
उदाहरण 3: दो बिंदुओं से उन्नयन कोण का उपयोग करके ऊँचाई ज्ञात करना
प्रश्न: एक व्यक्ति एक मीनार से 20 मीटर की दूरी पर खड़ा है और मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° देखता है। वह 10 मीटर पीछे हटता है (अर्थात, मीनार से 30 मीटर की दूरी पर) और अब उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
समाधान:
चरण 1: सभी दी गई जानकारी को लिखें:
- पहली स्थिति: दूरी (d₁) = 20 मीटर, उन्नयन कोण (θ₁) = 60°
- दूसरी स्थिति: दूरी (d₂) = 30 मीटर, उन्नयन कोण (θ₂) = 45°
चरण 2: ऊँचाई के लिए विशेष सूत्र का उपयोग करें:
- h = (d₂ – d₁) × tan(θ₁) × tan(θ₂) / [tan(θ₁) – tan(θ₂)]
चरण 3: मान रखें और गणना करें:
- h = (30 – 20) × tan(60°) × tan(45°) / [tan(60°) – tan(45°)]
- h = 10 × √3 × 1 / (√3 – 1)
- h = 10√3 / (√3 – 1)
- h = 10√3 × (√3 + 1) / [(√3 – 1) × (√3 + 1)]
- h = 10√3 × (√3 + 1) / (3 – 1)
- h = 10√3 × (√3 + 1) / 2
- h = 10 × (3 + √3) / 2
- h = 5 × (3 + √3)
- h ≈ 5 × (3 + 1.732)
- h ≈ 5 × 4.732
- h ≈ 23.66 मीटर
इसलिए, मीनार की ऊँचाई लगभग 23.66 मीटर है।
उदाहरण 4: जटिल स्थिति में ऊँचाई और दूरी की गणना
प्रश्न: एक नदी के किनारे पर खड़े एक व्यक्ति को सामने की पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° दिखाई देता है। नदी पार करने के बाद, जब वह पहाड़ी के पास पहुँचता है (जो नदी से 40 मीटर दूर है), उन्नयन कोण 60° हो जाता है। पहाड़ी की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात करें।
समाधान:
चरण 1: मान लें कि नदी की चौड़ाई = x मीटर
- पहली स्थिति: दूरी = x + 40 मीटर, उन्नयन कोण = 30°
- दूसरी स्थिति: दूरी = 40 मीटर, उन्नयन कोण = 60°
चरण 2: दोनों स्थितियों के लिए ऊँचाई के समीकरण लिखें:
- पहली स्थिति: h = (x + 40) × tan(30°)
- दूसरी स्थिति: h = 40 × tan(60°)
चरण 3: दोनों समीकरणों को बराबर करें:
- (x + 40) × tan(30°) = 40 × tan(60°)
- (x + 40) × (1/√3) = 40 × √3
- (x + 40) = 40 × √3 × √3
- (x + 40) = 40 × 3
- (x + 40) = 120
- x = 120 – 40
- x = 80 मीटर
चरण 4: ऊँचाई की गणना करें:
- h = 40 × tan(60°)
- h = 40 × √3
- h = 40 × 1.732
- h ≈ 69.28 मीटर
इसलिए, नदी की चौड़ाई 80 मीटर है और पहाड़ी की ऊँचाई लगभग 69.28 मीटर है।
समस्या समाधान के लिए विशेष तकनीकें (Special Techniques for Problem Solving)
1. सही त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन
- उन्नयन कोण के लिए – अक्सर tan का उपयोग किया जाता है (क्योंकि ऊँचाई/दूरी = tan θ)
- जब दो अनुपात दिए गए हों – सिंटोसा (sinθ/cosθ = tanθ) का उपयोग करें
2. आरेख बनाना
- हमेशा एक स्पष्ट आरेख बनाएँ जिसमें सभी दिए गए मापों और कोणों को दर्शाया गया हो
- समकोण त्रिभुज को पहचानें और उसे आरेख में स्पष्ट रूप से दिखाएँ
3. आँखों की ऊँचाई का प्रभाव
- समस्याओं में अक्सर प्रेक्षक की आँखों की ऊँचाई शामिल होती है
- ऊँचाई की गणना में इसे जोड़ें: कुल ऊँचाई = दूरी × tan(θ) + आँखों की ऊँचाई
4. विशेष परिस्थितियाँ
- जब वस्तु दो पक्षों से देखी जाए: दोनों पक्षों से समीकरण बनाएँ और हल करें
- एक समय में एक से अधिक अज्ञात मानों के लिए: अतिरिक्त समीकरण बनाएँ (जैसा उदाहरण 4 में किया गया)
साधारण और विशेष त्रिभुज (Common and Special Triangles)
1. 30°-60°-90° त्रिभुज
- यदि कर्ण = 2, तो 30° के सामने की भुजा = 1 और 60° के सामने की भुजा = √3
- अनुपात: 1 : √3 : 2
2. 45°-45°-90° त्रिभुज
- समद्विबाहु त्रिभुज जिसमें दोनों आधार कोण 45° के हैं
- यदि दोनों समान भुजाएँ = 1, तो कर्ण = √2
- अनुपात: 1 : 1 : √2
व्यावहारिक अनुप्रयोग (Practical Applications)
- इंजीनियरिंग और निर्माण: भवनों, पुलों, टॉवरों की ऊँचाई की गणना
- नौवहन और विमानन: विमानों और जहाजों की स्थिति और दूरी निर्धारण
- भू-सर्वेक्षण: पहाड़ियों, घाटियों और अन्य भौगोलिक विशेषताओं के मापन
- खगोल विज्ञान: तारों और ग्रहों की दूरी का अनुमान
- रक्षा और सैन्य: लक्ष्य की दूरी और ऊँचाई की गणना
अभ्यास प्रश्न (Mock Test)
बुनियादी स्तर (Basic Level)
- एक व्यक्ति 60 मीटर ऊँची इमारत के शीर्ष से जमीन पर एक कार को देखता है। यदि अवनमन कोण 30° है, तो कार और इमारत के बीच की दूरी क्या है?
- a) 60 मीटर
- b) 103.92 मीटर
- c) 30 मीटर
- d) 120 मीटर
- एक मीनार से 15 मीटर दूर खड़े एक व्यक्ति को मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° दिखाई देता है। यदि व्यक्ति की ऊँचाई 1.8 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई क्या है?
- a) 24.4 मीटर
- b) 26.2 मीटर
- c) 27.8 मीटर
- d) 30 मीटर
- एक नदी के किनारे पर खड़े एक व्यक्ति को सामने की पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° दिखाई देता है। नदी पार करने के बाद, पहाड़ी के पास पहुँचने पर, उन्नयन कोण 60° हो जाता है। यदि नदी की चौड़ाई 30 मीटर है, तो पहाड़ी की ऊँचाई क्या है?
- a) 30 मीटर
- b) 30√3 मीटर
- c) 51.96 मीटर
- d) 60 मीटर
माध्यमिक स्तर (Intermediate Level)
- एक व्यक्ति एक टॉवर के पास खड़ा है और टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° देखता है। वह टॉवर से 40 मीटर दूर जाता है और अब उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई क्या है?
- a) 20 मीटर
- b) 20√3 मीटर
- c) 40 मीटर
- d) 40√3 मीटर
- एक हवाई जहाज जमीन से 3000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। एक बिंदु A से देखने पर, हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद, जब बिंदु B से देखा जाता है, जो A से 2000 मीटर दूर है, उन्नयन कोण 30° है। बिंदु A और हवाई जहाज के बीच की क्षैतिज दूरी क्या है?
- a) 1000 मीटर
- b) 1732 मीटर
- c) 2000 मीटर
- d) 3464 मीटर
- दो मीनारें 100 मीटर की दूरी पर स्थित हैं। पहली मीनार की ऊँचाई 40 मीटर है और दूसरी की ऊँचाई 30 मीटर है। पहली मीनार के शीर्ष से दूसरी मीनार के पाद तक की दूरी क्या है?
- a) 100 मीटर
- b) 110 मीटर
- c) 107.7 मीटर
- d) 130 मीटर
उन्नत स्तर (Advanced Level)
- एक हवाई जहाज पूर्व से पश्चिम की ओर एक सीधी रेखा में 720 किमी/घंटा की गति से उड़ रहा है। एक पर्यवेक्षक को जमीन पर हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° दिखाई देता है। 10 सेकंड बाद, उन्नयन कोण 30° हो जाता है। हवाई जहाज की ऊँचाई क्या है?
- a) 1 किमी
- b) 2 किमी
- c) 3 किमी
- d) 4 किमी
- दो बिंदु A और B, एक टॉवर के विपरीत दिशाओं में क्रमशः ‘a’ और ‘b’ दूरी पर स्थित हैं। A से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण α है, और B से उन्नयन कोण β है। टॉवर की ऊँचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।
- a) h = ab(tan α + tan β) / (a + b)
- b) h = ab(tan α – tan β) / (a – b)
- c) h = (a + b) tan α tan β / (tan α + tan β)
- d) h = ab(tan α tan β) / (a tan β + b tan α)
- एक पहाड़ी के आधार से, एक व्यक्ति पहाड़ी के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° देखता है। वह पहाड़ी की ओर 100 मीटर चलता है और अब उन्नयन कोण 60° है। यदि पहाड़ी का ढलान 30° है, तो पहाड़ी की ढलान की लंबाई क्या है?
- a) 173.2 मीटर
- b) 200 मीटर
- c) 346.4 मीटर
- d) 400 मीटर
- एक खिलौना रॉकेट ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर 20 मीटर/सेकंड की एकसमान गति से चलता है। एक पर्यवेक्षक, जो रॉकेट के प्रक्षेपण बिंदु से 40 मीटर की दूरी पर है, रॉकेट को देखता है। प्रक्षेपण के 10 सेकंड बाद उन्नयन कोण क्या होगा?
- a) tan⁻¹(5)
- b) tan⁻¹(4)
- c) tan⁻¹(2)
- d) tan⁻¹(1)
उत्तर कुंजी (Answer Key)
- b) 103.92 मीटर
- c) 27.8 मीटर
- c) 51.96 मीटर
- c) 40 मीटर
- b) 1732 मीटर
- c) 107.7 मीटर
- b) 2 किमी
- a) h = ab(tan α + tan β) / (a + b)
- c) 346.4 मीटर
- a) tan⁻¹(5)