सतह क्षेत्रफल और आयतन गणित के महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो त्रि-आयामी वस्तुओं के मापन से संबंधित हैं। सतह क्षेत्रफल किसी वस्तु के बाहरी आवरण का कुल क्षेत्रफल होता है, जबकि आयतन उस वस्तु द्वारा घेरे गए त्रि-आयामी स्थान की मात्रा होती है।
- घन (Cube)
- घनाभ (Cuboid)
- बेलन (Cylinder)
- शंकु (Cone)
- गोला (Sphere)
- अर्धगोला (Hemisphere)
- लंब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder)
- लंब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone)
- संयुक्त आकृतियाँ (Combined Shapes)
- खोखली आकृतियाँ (Hollow Shapes)
- फलक, किनारे और शीर्ष की संख्या (Number of Faces, Edges, and Vertices)
- मॉक टेस्ट (Mock Test)
- निष्कर्ष (Conclusion)
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घन (Cube)
घन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और सभी फलक वर्ग होते हैं।
सूत्र (Formulas)
- भुजा (Edge): a
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 6a²
- आयतन (Volume): a³
उदाहरण (Example)
यदि एक घन की भुजा 5 सेमी है, तो:
आयतन = (5 सेमी)³ = 125 घन सेमी
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × (5 सेमी)² = 6 × 25 वर्ग सेमी = 150 वर्ग सेमी
घनाभ (Cuboid)
घनाभ एक त्रि-आयामी आकृति है जिसके सभी कोण समकोण होते हैं और सभी फलक आयत होते हैं।
सूत्र (Formulas)
- लंबाई (Length): l
- चौड़ाई (Breadth): b
- ऊँचाई (Height): h
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 2(lb + bh + hl)
- आयतन (Volume): l × b × h
उदाहरण (Example)
यदि एक घनाभ की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है, तो:
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(8 × 5 + 5 × 3 + 8 × 3) = 2(40 + 15 + 24) = 2 × 79 = 158 वर्ग सेमी
- आयतन = 8 × 5 × 3 = 120 घन सेमी
बेलन (Cylinder)
बेलन एक त्रि-आयामी आकृति है जिसके दो समांतर आधार वृत्त होते हैं और बीच का भाग सीधा होता है।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- ऊँचाई (Height): h
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 2πr² + 2πrh (समग्र), 2πrh (पार्श्व सतह)
- आयतन (Volume): πr²h
उदाहरण (Example)
यदि एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, तो:
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 7² + 2π × 7 × 10 = 2π × 49 + 2π × 70 = 2π × 119 = 2 × 3.14 × 119 ≈ 747.32 वर्ग सेमी
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 7 × 10 = 2π × 70 = 2 × 3.14 × 70 ≈ 439.6 वर्ग सेमी
- आयतन = π × 7² × 10 = π × 49 × 10 = 3.14 × 49 × 10 ≈ 1538.6 घन सेमी
शंकु (Cone)
शंकु एक त्रि-आयामी आकृति है जिसका आधार वृत्ताकार होता है और जो एक बिंदु (शीर्ष) पर समाप्त होता है।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- ऊँचाई (Height): h
- तिर्यक ऊँचाई (Slant Height): l = √(r² + h²)
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): πr² + πrl (कुल), πrl (पार्श्व सतह)
- आयतन (Volume): (1/3)πr²h
उदाहरण (Example)
यदि एक शंकु की त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है, तो:
- तिर्यक ऊँचाई (l) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × 6² + π × 6 × 10 = π × 36 + π × 60 = π × 96 = 3.14 × 96 ≈ 301.44 वर्ग सेमी
- पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × 6 × 10 = π × 60 = 3.14 × 60 ≈ 188.4 वर्ग सेमी
- आयतन = (1/3) × π × 6² × 8 = (1/3) × π × 36 × 8 = (1/3) × π × 288 = (1/3) × 3.14 × 288 ≈ 301.44 घन सेमी
गोला (Sphere)
गोला एक त्रि-आयामी आकृति है जिसके सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 4πr²
- आयतन (Volume): (4/3)πr³
उदाहरण (Example)
यदि एक गोले की त्रिज्या 9 सेमी है, तो:
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π × 9² = 4π × 81 = 4 × 3.14 × 81 ≈ 1017.36 वर्ग सेमी
- आयतन = (4/3) × π × 9³ = (4/3) × π × 729 = (4/3) × 3.14 × 729 ≈ 3052.08 घन सेमी
अर्धगोला (Hemisphere)
अर्धगोला एक गोले का आधा भाग होता है जो एक समतल सतह पर काटा गया हो।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 3πr² (कुल), 2πr² (वक्र पृष्ठ)
- आयतन (Volume): (2/3)πr³
उदाहरण (Example)
यदि एक अर्धगोले की त्रिज्या 12 सेमी है, तो:
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3π × 12² = 3π × 144 = 3 × 3.14 × 144 ≈ 1357.92 वर्ग सेमी
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π × 12² = 2π × 144 = 2 × 3.14 × 144 ≈ 905.28 वर्ग सेमी
- आयतन = (2/3) × π × 12³ = (2/3) × π × 1728 = (2/3) × 3.14 × 1728 ≈ 3619.78 घन सेमी
लंब वृत्तीय बेलन (Right Circular Cylinder)
लंब वृत्तीय बेलन वह बेलन होता है जिसकी अक्ष आधार के समकोण पर होती है।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- ऊँचाई (Height): h
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 2πr² + 2πrh
- आयतन (Volume): πr²h
उदाहरण (Example)
पहले बेलन खंड में दिए गए उदाहरण को देखें।
लंब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone)
लंब वृत्तीय शंकु वह शंकु होता है जिसकी अक्ष आधार के समकोण पर होती है।
सूत्र (Formulas)
- त्रिज्या (Radius): r
- ऊँचाई (Height): h
- तिर्यक ऊँचाई (Slant Height): l = √(r² + h²)
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): πr² + πrl
- आयतन (Volume): (1/3)πr²h
उदाहरण (Example)
पहले शंकु खंड में दिए गए उदाहरण को देखें।
संयुक्त आकृतियाँ (Combined Shapes)
कई बार हमें ऐसी आकृतियों का सतह क्षेत्रफल और आयतन निकालना होता है जो कई बुनियादी आकृतियों से मिलकर बनी होती हैं।
उदाहरण (Example)
एक खिलौना एक घनाभ के ऊपर एक अर्धगोले से मिलकर बना है। घनाभ की लंबाई 15 सेमी, चौड़ाई 10 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। अर्धगोले की त्रिज्या 5 सेमी है। इस खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।
हल (Solution):
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल:
घनाभ के 5 फलकों का क्षेत्रफल (नीचे का छोड़कर) =
2(15 × 10) + 2(15 × 7) + 2(10 × 7) – (10 × 15) = 2(150) + 2(105) + 2(70) – 150 = 300 + 210 + 140 – 150 = 500 वर्ग सेमी
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
2π × 5² = 2π × 25 = 2 × 3.14 × 25 ≈ 157 वर्ग सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 500 + 157 = 657 वर्ग सेमी
घनाभ का आयतन:
15 × 10 × 7 = 1050 घन सेमी
अर्धगोले का आयतन:
(2/3) × π × 5³ = (2/3) × π × 125 = (2/3) × 3.14 × 125 ≈ 261.67 घन सेमी
कुल आयतन = 1050 + 261.67 = 1311.67 घन सेमी
खोखली आकृतियाँ (Hollow Shapes)
खोखली आकृतियों में बाहरी और आंतरिक सतह होती है। इनका सतह क्षेत्रफल और आयतन निकालने के लिए विशेष सूत्रों का उपयोग किया जाता है।
खोखला बेलन (Hollow Cylinder)
- बाहरी त्रिज्या (External Radius): R
- आंतरिक त्रिज्या (Internal Radius): r
- ऊँचाई (Height): h
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area): 2π(R + r)h + 2π(R² – r²)
- आयतन (Volume): π(R² – r²)h
उदाहरण (Example)
एक खोखले बेलन की बाहरी त्रिज्या 8 सेमी, आंतरिक त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।
हल (Solution):
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π(8 + 5) × 12 + 2π(8² – 5²) = 2π × 13 × 12 + 2π × (64 – 25) = 2π × 156 + 2π × 39 = 2π × 195 = 2 × 3.14 × 195 ≈ 1224.6 वर्ग सेमी
- आयतन = π × (8² – 5²) × 12 = π × (64 – 25) × 12 = π × 39 × 12 = 3.14 × 39 × 12 ≈ 1468.32 घन सेमी
फलक, किनारे और शीर्ष की संख्या (Number of Faces, Edges, and Vertices)
| आकृति | फलक (Faces) | किनारे (Edges) | शीर्ष (Vertices) |
| घन (Cube) | 6 | 12 | 8 |
| घनाभ (Cuboid) | 6 | 12 | 8 |
| त्रिकोणीय प्रिज्म (Triangular Prism) | 5 | 9 | 6 |
| पंचकोणीय प्रिज्म (Pentagonal Prism) | 7 | 15 | 10 |
| त्रिकोणीय पिरामिड (Triangular Pyramid) | 4 | 6 | 4 |
| चतुष्कोणीय पिरामिड (Square Pyramid) | 5 | 8 | 5 |
मॉक टेस्ट (Mock Test)
स्तर 1: बेसिक (Basic Level)
- एक घन की भुजा 5cm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 125cm2
(b) 150cm2
(c) 200cm2
(d) 250cm2
उत्तर: (b) 150cm2
- एक बेलन की त्रिज्या 7cm और ऊँचाई 10cm है। इसका आयतन क्या होगा?
(a) 1540cm3
(b) 1600cm3
(c) 1720cm3
(d) 1800cm3
उत्तर: (a) 1540cm3
- एक गोले की त्रिज्या 3cm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 113.14cm2
(b) 120.56cm2
(c) 130.23cm2
(d) 140.45cm2
उत्तर: (a) 113.14cm2
स्तर 2: मध्यम (Intermediate Level)
- एक शंकु की त्रिज्या 6cm और ऊँचाई 8cm है। इसका आयतन क्या होगा?
(a) 301.71cm3
(b) 310.25cm3
(c) 320.45cm3
(d) 330.67cm3
उत्तर: (a) 301.71cm3
- एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 10cm,5cm,3cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 190cm2
(b) 200cm2
(c) 210cm2
(d) 220cm2
उत्तर: (a) 190cm2
- एक अर्धगोले की त्रिज्या 4cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 100.57cm2
(b) 110.23cm2
(c) 120.45cm2
(d) 130.67cm2
उत्तर: (a) 100.57cm2
स्तर 3: उन्नत (Advanced Level)
- एक बेलन की त्रिज्या 5cm और ऊँचाई 12cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 534.29cm2
(b) 550.45cm2
(c) 565.71cm2
(d) 580.86cm2
उत्तर: (a) 534.29cm2
- एक शंकु की त्रिज्या 8cm और तिरछी ऊँचाई 10cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
(a) 301.71cm2
(b) 320.45cm2
(c) 352.00cm2
(d) 376.99cm2
उत्तर: (d) 376.99cm2
- एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12cm,9cm,8cm है। इसका विकर्ण की लंबाई क्या होगी?
(a) 15.62cm
(b) 17.00cm
(c) 18.25cm
(d) 19.44cm
उत्तर: (b) 17.00cm
- एक अर्धगोले की त्रिज्या 6cm है। इसका आयतन क्या होगा?
(a) 452.57cm3
(b) 470.23cm3
(c) 480.45cm3
(d) 490.67cm3
उत्तर: (a) 452.57cm3
निष्कर्ष (Conclusion)
इस मॉक टेस्ट में हमने पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के विभिन्न प्रश्नों को ऑब्जेक्टिव तरीके से प्रस्तुत किया है। यह आपको अपनी तैयारी का आकलन करने में मदद करेगा। सभी सूत्रों को याद रखें और उनका अभ्यास करें।
प्रत्येक प्रश्न को हल करने के बाद, अपने उत्तर की जांच करें और गलतियों को समझें।