सेट और उनके प्रतिनिधित्व (Sets and their representations)

सेट वस्तुओं का एक संग्रह है जिसे अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। सेट में मौजूद वस्तुओं को उस सेट के तत्व या सदस्य कहा जाता है।

प्रतिनिधित्व के तरीके:

1. वर्णनात्मक विधि (Descriptive Method): सेट को शब्दों में वर्णित करना। उदाहरण: A = {वे संख्याएँ जो 20 से कम प्राकृतिक संख्याएँ हैं}
2. रोस्टर विधि (Roster Method): इसमें सेट के सभी तत्वों को दर्शाया जाता है। उदाहरण: A = {1, 2, 3, 4, …, 19}
3. सेट-बिल्डर विधि (Set-Builder Method): इसमें एक नियम के द्वारा सेट को परिभाषित किया जाता है। उदाहरण: A = {x : x < 20 और x एक प्राकृतिक संख्या है}

रिक्त सेट (Empty sets)

वह सेट जिसमें कोई तत्व नहीं होता है, रिक्त सेट कहलाता है। इसे ∅ या { } से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: B = {x : x एक वास्तविक संख्या है और x² + 1 = 0} यह सेट रिक्त है क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या नहीं है जिसका वर्ग -1 के बराबर हो।

परिमित और अपरिमित सेट (Finite and Infinite sets)

1. परिमित सेट (Finite Set): जिस सेट के तत्वों की संख्या एक निश्चित संख्या होती है। उदाहरण: C = {a, b, c, d, e} (5 तत्व)
2. अपरिमित सेट (Infinite Set): जिस सेट के तत्वों की संख्या अनंत होती है। उदाहरण: D = {1, 2, 3, 4, …} (सभी प्राकृतिक संख्याएँ)

समान सेट (Equal sets)

दो सेट A और B समान होते हैं यदि और केवल यदि दोनों में एक ही तत्व हों। इसे A = B से दर्शाया जाता है।

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {4, 3, 2, 1}
• C = {x : x ∈ N और x < 5}

यहाँ A = B = C क्योंकि सभी में एक ही तत्व हैं।

उपसमुच्चय (Subsets)

सेट A सेट B का उपसमुच्चय है यदि A के सभी तत्व B में भी मौजूद हों। इसे A ⊆ B से दर्शाया जाता है।

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3}
• B = {1, 2, 3, 4, 5} यहाँ A ⊆ B क्योंकि A के सभी तत्व B में मौजूद हैं।

महत्वपूर्ण तथ्य:

• हर सेट अपना स्वयं का उपसमुच्चय होता है: A ⊆ A
• रिक्त सेट हर सेट का उपसमुच्चय होता है: ∅ ⊆ A
• यदि A एक n-तत्व सेट है, तो A के कुल उपसमुच्चयों की संख्या 2^n होती है।

उचित उपसमुच्चय (Proper Subset):

सेट A सेट B का उचित उपसमुच्चय है यदि A, B का उपसमुच्चय है और A ≠ B। इसे A ⊂ B से दर्शाया जाता है।

उदाहरण:

• A = {1, 2} और B = {1, 2, 3} यहाँ A ⊂ B क्योंकि A, B का उपसमुच्चय है और A ≠ B।

वास्तविक संख्याओं के सेट के उपसमुच्चय (Subsets of a set of real numbers)

वास्तविक संख्याओं के सेट (R) के कुछ महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (N) = {1, 2, 3, …}
• पूर्ण संख्याएँ (W) = {0, 1, 2, 3, …}
• पूर्णांक (Z) = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• परिमेय संख्याएँ (Q) = {p/q : p, q ∈ Z और q ≠ 0}
• अपरिमेय संख्याएँ (Q’) = {x ∈ R : x ∉ Q}

इन सेटों के बीच संबंध: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

सार्वभौमिक सेट (Universal set)

वह सेट जिसमें बहस के सभी संभावित तत्व शामिल हों, सार्वभौमिक सेट कहलाता है और इसे U से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में चर्चा कर रहे हैं, तो U = {1, 2, 3, …} हो सकता है।

वेन आरेख (Venn diagrams)

वेन आरेख सेटों को चित्रात्मक रूप से दर्शाने का एक तरीका है। इसमें एक आयत सार्वभौमिक सेट को दर्शाता है और वृत्त अलग-अलग सेटों को दर्शाते हैं।

उदाहरण:

सेटों का संघ और प्रतिच्छेदन (Union and Intersection of sets)

संघ (Union):

सेट A और B का संघ उन सभी तत्वों का सेट है जो या तो A में हैं या B में हैं या दोनों में हैं। इसे A ∪ B से दर्शाया जाता है।

A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

प्रतिच्छेदन (Intersection):

सेट A और B का प्रतिच्छेदन उन सभी तत्वों का सेट है जो A और B दोनों में मौजूद हैं। इसे A ∩ B से दर्शाया जाता है।

A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• A ∩ B = {3, 4}

अपरिच्छेद सेट (Disjoint Sets):

यदि दो सेटों का प्रतिच्छेदन रिक्त सेट है, तो उन्हें अपरिच्छेद सेट कहा जाता है।

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}
• A ∩ B = ∅ (अतः A और B अपरिच्छेद सेट हैं)

सेटों का अंतर (Difference of sets)

सेट A और B का अंतर (A – B) उन सभी तत्वों का सेट है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं।

A – B = {x : x ∈ A और x ∉ B}

उदाहरण:

• A = {1, 2, 3, 4, 5}
• B = {4, 5, 6, 7}
• A – B = {1, 2, 3}
• B – A = {6, 7}

सेट का पूरक (Complement of a set)

सेट A का पूरक उन सभी तत्वों का सेट है जो सार्वभौमिक सेट U में हैं लेकिन A में नहीं हैं। इसे A’ या A^c या U – A से दर्शाया जाता है।

A’ = {x : x ∈ U और x ∉ A}

उदाहरण:

• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• A = {2, 4, 6, 8, 10}
• A’ = {1, 3, 5, 7, 9}

सेट के महत्वपूर्ण गुण (Important Properties of Sets)

1. संघ के गुण:
   • A ∪ B = B ∪ A (क्रमविनिमय गुण)
   • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (साहचर्य गुण)
   • A ∪ A = A (तद्रूपता गुण)
   • A ∪ ∅ = A
   • A ∪ U = U
2. प्रतिच्छेदन के गुण:
   • A ∩ B = B ∩ A (क्रमविनिमय गुण)
   • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (साहचर्य गुण)
   • A ∩ A = A (तद्रूपता गुण)
   • A ∩ ∅ = ∅
   • A ∩ U = A
3. वितरण के गुण:
   • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
   • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. पूरक के गुण:
   • (A’)’ = A
   • U’ = ∅
   • ∅’ = U
   • A ∪ A’ = U
   • A ∩ A’ = ∅
5. डी मॉर्गन के नियम:
   • (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
   • (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

मॉक टेस्ट (Mock Test)

प्रारंभिक स्तर (Basic Level)

1. सेट {1, 2, 3, 4, 5} का रोस्टर विधि से प्रतिनिधित्व क्या है?
   a) {x : x < 6 और x एक प्राकृतिक संख्या है}
   b) {1, 2, 3, 4, 5}
   c) {x : x ≤ 5}
   d) {1, 2, 3, 4}
2. रिक्त सेट को किस प्रतीक से दर्शाया जाता है?
   a) { }
   b) ∅
   c) a और b दोनों
   d) इनमें से कोई नहीं
3. सेट A = {1, 2, 3} और B = {3, 2, 1} हैं, तो:
   a) A ⊂ B
   b) B ⊂ A
   c) A = B
   d) A और B अपरिच्छेद हैं
4. यदि A = {1, 2, 3, 4, 5} और B = {4, 5, 6, 7}, तो A ∩ B क्या है?
   a) {4, 5}
   b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
   c) {4, 5, 6, 7}
   d) {1, 2, 3}
5. यदि सार्वभौमिक सेट U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} और A = {2, 4, 6, 8}, तो A’ क्या है?
   a) {1, 3, 5, 7, 9, 10}
   b) {2, 4, 6, 8, 10}
   c) {1, 3, 5, 7, 9}
   d) {10}

मध्यम स्तर (Intermediate Level)

6. यदि A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 4, 5, 6}, तो (A – B) ∪ (B – A) क्या है?
   a) {1, 2, 5, 6}
   b) {3, 4}
   c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
   d) ∅
7. यदि A के 2^6 उपसमुच्चय हैं, तो A में कितने तत्व हैं?
   a) 8
   b) 6
   c) 64
   d) 12
8. यदि A = {a, b, c} और B = {p, q}, तो A × B में कितने क्रमित युग्म होंगे?
   a) 5
   b) 6
   c) 8
   d) 4
9. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, (A ∪ B)’ क्या है?
   a) A’ ∪ B’
   b) A’ ∩ B’
   c) (A ∩ B)’
   d) A’ – B’
10. यदि A ⊆ B और B ⊆ A, तो:
    a) A = B
    b) A ≠ B
    c) A ∩ B = ∅
    d) A ∪ B = U

उन्नत स्तर (Advanced Level)

11. यदि A ∩ B = A ∩ C और A ∪ B = A ∪ C, तो:
    a) B ⊆ C
    b) B = C
    c) A ⊆ B ∩ C
    d) A ∩ (B ∪ C) = ∅
12. यदि A, B और C तीन सेट हैं, तो A – (B ∩ C) = ?
    a) (A – B) ∪ (A – C)
    b) (A – B) ∩ (A – C)
    c) A – (B ∪ C)
    d) (A ∩ B) – C
13. यदि |A| = m, |B| = n और |A ∩ B| = p, तो |A ∪ B| = ?
    a) m + n
    b) m + n – p
    c) m × n
    d) m × n – p
14. यदि A ⊆ B और B ⊆ C, तो निम्न में से कौन सा सही है?
    a) A ⊆ C
    b) A = C
    c) B = C
    d) A = B
15. यदि A, B और C तीन परिमित सेट हैं और A, B, C सभी अपरिच्छेद हैं (कोई भी दो सेट अपरिच्छेद), तो |A ∪ B ∪ C| = ?
    a) |A| + |B| + |C|
    b) |A| × |B| × |C|
    c) |A| – |B| – |C|
    d) (|A| + |B| + |C|) – (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |A ∩ C|)

उत्तर कुंजी (Answer Key)

1. b
2. c
3. c
4. a
5. a
6. a
7. b
8. b
9. b
10. a
11. b
12. a
13. b
14. a
15. a

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