Chapter 1- Units – Mathematics Co-ordinate Geometry,Trigonometrical Ratios Notes- RRB Technician 2025

निर्देशांक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम बिंदुओं, रेखाओं और वक्रों का अध्ययन अंकगणितीय निर्देशांकों के माध्यम से करते हैं। इसकी नींव देकार्त (René Descartes) ने रखी थी, इसलिए इसे कार्तीय ज्यामिति भी कहते हैं।

कार्तीय तल (Cartesian Plane)

कार्तीय तल में दो परस्पर लंबवत रेखाएँ होती हैं:

• X-अक्ष: क्षैतिज रेखा
• Y-अक्ष: ऊर्ध्वाधर रेखा

इन दोनों अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु (Origin) कहलाता है, जिसे O(0,0) से दर्शाया जाता है।कार्तीय तल को चार भागों में विभाजित किया गया है, जिन्हें चतुर्थांश (Quadrants) कहते हैं

• प्रथम चतुर्थांश: x > 0, y > 0
• द्वितीय चतुर्थांश: x < 0, y > 0
• तृतीय चतुर्थांश: x < 0, y < 0
• चतुर्थ चतुर्थांश: x > 0, y < 0

निर्देशांक (Coordinates)

किसी बिंदु P के निर्देशांक (x, y) होते हैं, जहाँ:

• x: मूल बिंदु से P तक क्षैतिज दूरी (X-अक्ष पर)
• y: मूल बिंदु से P तक ऊर्ध्वाधर दूरी (Y-अक्ष पर)

उदाहरण: बिंदु P(3, 4) का अर्थ है कि बिंदु P, मूल बिंदु से X-अक्ष के अनुदिश 3 इकाई दाईं ओर और Y-अक्ष के अनुदिश 4 इकाई ऊपर की ओर स्थित है।

दो बिंदुओं के बीच दूरी (Distance Between Two Points)

यदि दो बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) हैं, तो उनके बीच की दूरी निम्न सूत्र से प्राप्त होती है:

दूरी = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
उदाहरण: बिंदु P(3, 4) और Q(6, 8) के बीच की दूरी:

• दूरी = √[(6 – 3)² + (8 – 4)²]
• दूरी = √[9 + 16]
• दूरी = √25 = 5 इकाई

विभाजन सूत्र (Section Formula)

आंतरिक विभाजन (Internal Division)

यदि बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक ज्ञात करने हों, तो:
R = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))

उदाहरण: बिंदु P(2, 3) और Q(5, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक:

• x = (2×5 + 1×2)/(2 + 1) = 12/3 = 4
• y = (2×7 + 1×3)/(2 + 1) = 17/3 = 5.67
• R(4, 5.67)

बाह्य विभाजन (External Division)

यदि बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक ज्ञात करने हों, तो:
R = ((mx₂ – nx₁)/(m – n), (my₂ – ny₁)/(m – n))

उदाहरण: बिंदु P(2, 3) और Q(5, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:1 के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करने वाले बिंदु R के निर्देशांक:

• x = (2×5 – 1×2)/(2 – 1) = 8/1 = 8
• y = (2×7 – 1×3)/(2 – 1) = 11/1 = 11
• R(8, 11)

मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-Point Formula)

दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच के मध्य-बिंदु M के निर्देशांक:
M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

उदाहरण: बिंदु P(3, 4) और Q(7, 8) के मध्य-बिंदु के निर्देशांक:

• x = (3 + 7)/2 = 5
• y = (4 + 8)/2 = 6
• मध्य-बिंदु M(5, 6)

क्षेत्रफल (Area)

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

यदि त्रिभुज के शीर्ष P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) और R(x₃, y₃) हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = (1/2) × |x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)|
उदाहरण: बिंदु P(1, 1), Q(4, 5) और R(7, 1) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल:

• क्षेत्रफल = (1/2) × |1(5 – 1) + 4(1 – 1) + 7(1 – 5)|
• क्षेत्रफल = (1/2) × |1×4 + 4×0 + 7×(-4)|
• क्षेत्रफल = (1/2) × |4 + 0 – 28|
• क्षेत्रफल = (1/2) × |-24|
• क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई

सरल रेखा (Straight Line)

रेखा के विभिन्न रूप (Different Forms of Line Equation)

1. सामान्य रूप (General Form)
ax + by + c = 0

2. प्रवणता-अंतःखंड रूप (Slope-Intercept Form):
y = mx + c जहाँ m = प्रवणता (slope), c = y-अंतःखंड (y-intercept)

3. अंतःखंड रूप (Intercept Form):
x/a + y/b = 1 जहाँ a = x-अंतःखंड, b = y-अंतःखंड

4. प्रवणता-बिंदु रूप (Point-Slope Form):
y – y₁ = m(x – x₁) जहाँ (x₁, y₁) = रेखा पर स्थित बिंदु, m = प्रवणता

प्रवणता (Slope)

दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता:
m = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

उदाहरण: बिंदु P(2, 3) और Q(6, 7) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता:
m = (7 – 3)/(6 – 2) = 4/4 = 1

दो रेखाओं के बीच कोण (Angle Between Two Lines)

यदि दो रेखाओं की प्रवणताएँ m₁ और m₂ हैं, तो उनके बीच का कोण θ:
tan θ = |(m₂ – m₁)/(1 + m₁m₂)|

विशेष मामले:

• समांतर रेखाएँ: m₁ = m₂
• लंबवत रेखाएँ: m₁m₂ = -1

उदाहरण: दो रेखाओं y = x + 2 और y = 2x + 3 के बीच का कोण ज्ञात करें।

• पहली रेखा की प्रवणता m₁ = 1
• दूसरी रेखा की प्रवणता m₂ = 2
• tan θ = |(2 – 1)/(1 + 1×2)| = |1/3| = 1/3
• θ = tan⁻¹(1/3) ≈ 18.4°

बिंदु और रेखा के बीच दूरी (Distance from a Point to a Line)

यदि रेखा ax + by + c = 0 है और बिंदु P(x₁, y₁) है, तो बिंदु और रेखा के बीच की लंबवत दूरी:

दूरी = |ax₁ + by₁ + c|/√(a² + b²)
उदाहरण: बिंदु P(2, 3) से रेखा 3x + 4y – 10 = 0 की दूरी:

• दूरी = |3×2 + 4×3 – 10|/√(3² + 4²)
• दूरी = |6 + 12 – 10|/√(9 + 16)
• दूरी = |8|/√25
• दूरी = 8/5 = 1.6 इकाई

वृत्त (Circle)

वृत्त का समीकरण (Equation of Circle)

1. केंद्र (h, k) और त्रिज्या r वाले वृत्त का समीकरण:

(x – h)² + (y – k)² = r²

2. मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त (Circle with Center at Origin):

x² + y² = r²

3. वृत्त का सामान्य समीकरण (General Form):

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 जहाँ केंद्र = (-g, -f) और त्रिज्या = √(g² + f² – c)

उदाहरण: केंद्र (3, 4) और त्रिज्या 5 इकाई वाले वृत्त का समीकरण:

• (x – 3)² + (y – 4)² = 5²
• (x – 3)² + (y – 4)² = 25

त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometrical Ratios)

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज के कोणों और उसकी भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है। त्रिकोणमितीय अनुपात समकोण त्रिभुज के कोणों और उसकी भुजाओं के बीच के अनुपात हैं।

मूल त्रिकोणमितीय अनुपात (Basic Trigonometric Ratios)

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ कोण C = 90° (समकोण) है:

1. साइन (sine, sin): विपरीत भुजा / कर्ण
   
   • sin A = BC/AB
   • sin B = AC/AB
2. कोसाइन (cosine, cos): समीपस्थ भुजा / कर्ण
   
   • cos A = AC/AB
   • cos B = BC/AB
3. टैंजेंट (tangent, tan): विपरीत भुजा / समीपस्थ भुजा
   
   • tan A = BC/AC
   • tan B = AC/BC
4. कोटैंजेंट (cotangent, cot): समीपस्थ भुजा / विपरीत भुजा
   
   • cot A = AC/BC = 1/tan A
   • cot B = BC/AC = 1/tan B
5. सीकेंट (secant, sec): कर्ण / समीपस्थ भुजा
   
   • sec A = AB/AC = 1/cos A
   • sec B = AB/BC = 1/cos B
6. कोसीकेंट (cosecant, cosec): कर्ण / विपरीत भुजा
   
   • cosec A = AB/BC = 1/sin A
   • cosec B = AB/AC = 1/sin B

उदाहरण: एक समकोण त्रिभुज में, यदि sin A = 3/5, तो अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करें।

• sin A = 3/5, इसका अर्थ है कि विपरीत भुजा = 3 और कर्ण = 5
• पाइथागोरस प्रमेय से, समीपस्थ भुजा = √(5² – 3²) = √(25 – 9) = √16 = 4
• cos A = समीपस्थ भुजा / कर्ण = 4/5
• tan A = विपरीत भुजा / समीपस्थ भुजा = 3/4
• cot A = 1/tan A = 4/3
• sec A = 1/cos A = 5/4
• cosec A = 1/sin A = 5/3

त्रिकोणमितीय कोण (Trigonometric Angles)

प्रमुख कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Standard Angles)

कोण θ	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	1	0
30°	1/2	√3/2	1/√3
45°	1/√2	1/√2	1
60°	√3/2	1/2	√3
90°	1	0	∞

चतुर्थांशों में त्रिकोणमितीय अनुपातों के चिह्न (Signs of Trigonometric Ratios in Quadrants)

चतुर्थांश	sin	cos	tan
I (0°-90°)	+	+	+
II (90°-180°)	+	–	–
III (180°-270°)	–	–	+
IV (270°-360°)	–	+	–

इसे याद रखने के लिए “All, Sin, Tan, Cos” (ASTC) नियम का उपयोग किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)

मूल सर्वसमिकाएँ (Basic Identities)

1. पाइथागोरस सर्वसमिका (Pythagorean Identity):
   
   • sin²θ + cos²θ = 1
   • 1 + tan²θ = sec²θ
   • 1 + cot²θ = cosec²θ
2. अनुपूरक कोण सर्वसमिकाएँ (Complementary Angle Identities):
   
   • sin(90° – θ) = cos θ
   • cos(90° – θ) = sin θ
   • tan(90° – θ) = cot θ
3. संपूरक कोण सर्वसमिकाएँ (Supplementary Angle Identities):
   
   • sin(180° – θ) = sin θ
   • cos(180° – θ) = -cos θ
   • tan(180° – θ) = -tan θ

योग और अंतर सूत्र (Sum and Difference Formulas)

1. साइन के योग और अंतर सूत्र:
   
   • sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
   • sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
2. कोसाइन के योग और अंतर सूत्र:
   
   • cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B
   • cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
3. टैंजेंट के योग और अंतर सूत्र:
   
   • tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
   • tan(A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

दोहरे कोण के सूत्र (Double Angle Formulas)

1. साइन का दोहरा कोण सूत्र:
   
   • sin 2A = 2 sin A cos A
2. कोसाइन का दोहरा कोण सूत्र:
   
   • cos 2A = cos²A – sin²A = 2cos²A – 1 = 1 – 2sin²A
3. टैंजेंट का दोहरा कोण सूत्र:
   
   • tan 2A = 2 tan A/(1 – tan²A)

आधे कोण के सूत्र (Half Angle Formulas)

1. साइन का आधा कोण सूत्र:
   
   • sin(A/2) = ±√[(1 – cos A)/2]
2. कोसाइन का आधा कोण सूत्र:
   
   • cos(A/2) = ±√[(1 + cos A)/2]
3. टैंजेंट का आधा कोण सूत्र:
   
   • tan(A/2) = (1 – cos A)/sin A = sin A/(1 + cos A)

उदाहरण (Example)

यदि sin A = 3/5 और cos B = 5/13, जहाँ A और B प्रथम चतुर्थांश में हैं, तो sin(A + B) ज्ञात करें।

समाधान:

• sin A = 3/5 ⟹ cos A = 4/5 (प्रथम चतुर्थांश में और sin²A + cos²A = 1 से)
• cos B = 5/13 ⟹ sin B = 12/13 (प्रथम चतुर्थांश में और sin²B + cos²B = 1 से)
• sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
• sin(A + B) = (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13)
• sin(A + B) = 15/65 + 48/65
• sin(A + B) = 63/65

त्रिकोणमितीय समीकरण (Trigonometric Equations)

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण हैं जिनमें अज्ञात चर त्रिकोणमितीय फलन के रूप में होते हैं।

समीकरण के सामान्य प्रकार (Common Types of Equations)

1. लिनियर समीकरण (Linear Equations):
   
   • a sin θ + b cos θ = c
2. क्वाड्रेटिक समीकरण (Quadratic Equations):
   
   • a sin²θ + b sin θ + c = 0
   • a cos²θ + b cos θ + c = 0
3. होमोजेनियस समीकरण (Homogeneous Equations):
   
   • a sin θ + b cos θ = 0

उदाहरण (Example)

समीकरण 2 sin θ – 1 = 0 को [0, 2π] के अंतराल में हल करें।

समाधान:

• 2 sin θ – 1 = 0
• sin θ = 1/2
• θ = sin⁻¹(1/2)
• θ = π/6 या θ = 5π/6 (क्योंकि sin(π – θ) = sin θ)
• [0, 2π] के अंतराल में, θ = π/6 (≈ 30°) या θ = 5π/6 (≈ 150°)

ऊँचाई और दूरी (Heights and Distances)

त्रिकोणमिति का उपयोग ऊँचाई और दूरी के मापन में किया जाता है, विशेष रूप से जब प्रत्यक्ष मापन संभव न हो।

मूल अवधारणाएँ (Basic Concepts)

1. उन्नयन कोण (Angle of Elevation): क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर देखने पर बनने वाला कोण।
   
2. अवनमन कोण (Angle of Depression): क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर देखने पर बनने वाला कोण।
   

उदाहरण (Example)

एक टॉवर के शीर्ष से, एक भवन के शीर्ष का अवनमन कोण 30° है और भवन के आधार का अवनमन कोण 60° है। यदि टॉवर 50 मीटर ऊँचा है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।

समाधान:

• माना भवन की ऊँचाई h मीटर है और टॉवर और भवन के बीच की दूरी x मीटर है।
• टॉवर की ऊँचाई = 50 मीटर

भवन के शीर्ष का अवनमन कोण 30° है:

• tan 30° = (50 – h)/x
• 1/√3 = (50 – h)/x
• x = √3(50 – h)

भवन के आधार का अवनमन कोण 60° है:

• tan 60° = 50/x
• √3 = 50/x
• x = 50/√3

अब दोनों x के मान बराबर होंगे:

• √3(50 – h) = 50/√3
• 3(50 – h) = 50
• 150 – 3h = 50
• -3h = -100
• h = 33.33 मीटर

अतः भवन की ऊँचाई 33.33 मीटर है।

कोऑर्डिनेट जियोमेट्री और त्रिकोणमिति मॉक टेस्ट (Coordinate Geometry and Trigonometry Mock Test)

बेसिक प्रश्न (Basic Questions)

1. बिंदु P(3, 4) और Q(7, 9) के बीच की दूरी कितनी है?
   a) 5 इकाई
   b) 6.4 इकाई
   c) 7 इकाई
   d) 8 इकाई
2. दो बिंदुओं P(2, 3) और Q(8, 6) के मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
   a) (5, 4.5)
   b) (5, 4.5)
   c) (4, 5)
   d) (4.5, 5)
3. बिंदु P(1, 3) और Q(5, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
   a) (3.4, 5.4)
   b) (2.6, 4.6)
   c) (2.4, 4.4)
   d) (3.6, 5.6)
4. रेखा 3x – 4y + 12 = 0 की प्रवणता क्या है?
   a) 3/4
   b) 4/3
   c) -3/4
   d) -4/3
5. यदि रेखाओं ax + by + c = 0 और dx + ey + f = 0 के बीच कोण θ है, तो tanθ का मान है:
   a) |(ae – bd)/(ad + be)|
   b) |(ad – be)/(ae + bd)|
   c) |(ae – bd)/(bd + ae)|
   d) |(ad + be)/(ae – bd)|

मध्यम प्रश्न (Intermediate Questions)

1. बिंदु P(2, 1), Q(5, 0) और R(4, 3) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है?
   a) 5 वर्ग इकाई
   b) 5.5 वर्ग इकाई
   c) 6 वर्ग इकाई
   d) 6.5 वर्ग इकाई
2. बिंदु A(3, 4) से रेखा 4x – 3y + 10 = 0 तक की न्यूनतम दूरी क्या है?
   a) 2 इकाई
   b) 2.5 इकाई
   c) 3 इकाई
   d) 3.5 इकाई
3. वृत्त x² + y² – 6x – 8y + 9 = 0 के लिए निम्न में से कौन सा कथन सही है?
   a) केंद्र (3, 4), त्रिज्या 5
   b) केंद्र (3, 4), त्रिज्या 4
   c) केंद्र (4, 3), त्रिज्या 4
   d) केंद्र (3, 4), त्रिज्या 6
4. यदि एक वृत्त मूल बिंदु से होकर जाता है और जिसका केंद्र (2, 3) है, तो वृत्त का समीकरण है:
   a) x² + y² – 4x – 6y = 0
   b) x² + y² – 4x – 6y + 13 = 0
   c) x² + y² + 4x + 6y = 0
   d) x² + y² + 4x + 6y + 13 = 0
5. दो रेखाओं 2x – 3y + 5 = 0 और 4x – 6y – 1 = 0 के बीच का संबंध है:
   a) समांतर रेखाएँ
   b) प्रतिच्छेदी रेखाएँ
   c) लंबवत रेखाएँ
   d) संपाती रेखाएँ

उन्नत प्रश्न (Advanced Questions)

1. रेखाओं 3x – 4y + 2 = 0 और 5x + 12y – 7 = 0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक हैं:
   a) (1, 1)
   b) (1, -1)
   c) (-1, 1)
   d) (-1, -1)
2. वृत्त x² + y² = 25 को स्पर्श करने वाली और बिंदु P(3, 4) से होकर जाने वाली किसी भी रेखा की प्रवणता का मान है:
   a) 3/4 या -4/3
   b) 4/3 या -3/4
   c) 5/12 या -12/5
   d) 12/5 या -5/12
3. त्रिभुज जिसके शीर्ष A(1, 2), B(3, -4) और C(-5, 3) हैं, का परिकेंद्र (centroid) है:
   a) (-1/3, 1/3)
   b) (1/3, -1/3)
   c) (-1/3, -1/3)
   d) (1/3, 1/3)
4. दो रेखाओं 2x + 3y – 5 = 0 और 4x + ky – 9 = 0 के लंबवत होने के लिए k का मान क्या होगा?
   a) -8/3
   b) 8/3
   c) -3/8
   d) 3/8
5. बिंदुओं (4, 0), (0, 0) और (0, 3) से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है:
   a) x² + y² – 4x – 3y = 0
   b) x² + y² – 4x – 3y + 12 = 0
   c) x² + y² – 4x – 3y – 12 = 0
   d) x² + y² + 4x + 3y = 0

भाग B: त्रिकोणमितीय अनुपात (PART B: Trigonometrical Ratios)

बेसिक प्रश्न (Basic Questions)

1. यदि sin θ = 3/5, तो cos θ का मान क्या होगा? (θ प्रथम चतुर्थांश में है)
   a) 4/5
   b) -4/5
   c) 3/5
   d) 5/3
2. निम्न में से किस चतुर्थांश में sin θ और tan θ दोनों ऋणात्मक होते हैं?
   a) प्रथम चतुर्थांश
   b) द्वितीय चतुर्थांश
   c) तृतीय चतुर्थांश
   d) चतुर्थ चतुर्थांश
3. यदि cos A = 3/5, तो sec A का मान क्या है?
   a) 3/5
   b) 5/3
   c) 4/5
   d) 5/4
4. tan 45° + cot 45° का मान है:
   a) 0
   b) 1
   c) 2
   d) √2
5. cos 0° + sin 90° का मान है:
   a) 0
   b) 1
   c) 2
   d) √2

मध्यम प्रश्न (Intermediate Questions)

1. sin² 30° + cos² 60° + tan² 45° का मान है:
   a) 1
   b) 2
   c) 1.5
   d) 2.5
2. यदि sin A = 4/5 और sin B = 3/5, तो sin(A+B) का मान है: (A और B दोनों प्रथम चतुर्थांश में हैं) a) 7/10
   b) 24/25
   c) 7/25
   d) 24/10
3. समीकरण sin θ = cos θ का [0°, 360°] में हल है:
   a) 0°, 90°, 180°, 270°
   b) 45°, 225°
   c) 135°, 315°
   d) 45°, 135°, 225°, 315°
4. यदि tan A = 1/√3, तो A का मान है:
   a) 30°
   b) 45°
   c) 60°
   d) 90°
5. cos 2A = 1/2 के लिए A का मान है: (A [0°, 90°] में है)
   a) 15°
   b) 30°
   c) 45°
   d) 60°

उन्नत प्रश्न (Advanced Questions)

1. यदि 7 sin θ + 24 cos θ = 25, तो sin θ का मान है:
   a) 0
   b) 7/25
   c) 24/25
   d) 4/5
2. sin 3A की sin A के रूप में व्यंजक है:
   a) 3 sin A – 4 sin³ A
   b) 3 sin A + 4 sin³ A
   c) 3 sin A – 2 sin³ A
   d) 3 sin A + 2 sin³ A
3. यदि cos A + cos B = 0 और sin A + sin B = 0, तो (A – B) का मान है:
   a) 90°
   b) 180°
   c) 270°
   d) 360°
4. यदि a sin θ + b cos θ = c, तो θ का मान है:
   a) sin⁻¹(c/√(a² + b²))
   b) cos⁻¹(c/√(a² + b²))
   c) tan⁻¹(b/a) ± cos⁻¹(c/√(a² + b²))
   d) tan⁻¹(a/b) ± sin⁻¹(c/√(a² + b²))
5. एक मीनार के शीर्ष से, एक भवन के शीर्ष और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि मीनार 100 मीटर ऊँची है, तो भवन की ऊँचाई है:
   a) 50 मीटर
   b) 45 मीटर
   c) 35.4 मीटर
   d) 29.3 मीटर

उत्तर कुंजी (Answer Key)

भाग A: कोऑर्डिनेट जियोमेट्री (PART A: Coordinate Geometry)

1. b) 6.4 इकाई
2. b) (5, 4.5)
3. c) (2.4, 4.4)
4. a) 3/4
5. a) |(ae – bd)/(ad + be)|
6. c) 6 वर्ग इकाई
7. a) 2 इकाई
8. b) केंद्र (3, 4), त्रिज्या 4
9. a) x² + y² – 4x – 6y = 0
10. a) समांतर रेखाएँ
11. a) (1, 1)
12. d) 12/5 या -5/12
13. a) (-1/3, 1/3)
14. a) -8/3
15. a) x² + y² – 4x – 3y = 0

भाग B: त्रिकोणमितीय अनुपात (PART B: Trigonometrical Ratios)

1. a) 4/5
2. d) चतुर्थ चतुर्थांश
3. b) 5/3
4. c) 2
5. c) 2
6. b) 2
7. b) 24/25
8. b) 45°, 225°
9. a) 30°
10. b) 30°
11. b) 7/25
12. a) 3 sin A – 4 sin³ A
13. b) 180°
14. c) tan⁻¹(b/a) ± cos⁻¹(c/√(a² + b²))
15. c) 35.4 मीटर

इस मॉक टेस्ट में कुल 30 प्रश्न हैं, जिनमें बेसिक, मध्यम और उन्नत स्तर के प्रश्न शामिल हैं। प्रत्येक प्रश्न के लिए सही उत्तर ऊपर उत्तर कुंजी में दिए गए हैं। इसका उपयोग अपने ज्ञान का मूल्यांकन करने और परीक्षा की तैयारी में मदद के लिए कर सकते हैं।

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