सेट थ्योरी में, किसी सेट का पूरक (complement) उन सभी तत्वों का समूह होता है जो मूल सेट में नहीं हैं लेकिन सार्वभौमिक सेट (universal set) में हैं। सेट A का पूरक A’ या A^c या A̅ के रूप में दर्शाया जाता है।
यदि U सार्वभौमिक सेट है और A इसका एक उपसमुच्चय (subset) है, तो:
A’ = {x : x ∈ U और x ∉ A}
पूरक के मुख्य गुण (Main Properties of Complement)
1. दोहरे पूरक का नियम (Law of Double Complement)
(A’)’ = A
अर्थात् किसी सेट के पूरक का पूरक मूल सेट के बराबर होता है।
उदाहरण: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5} और A = {1, 3, 5}
तो A’ = {2, 4}
और (A’)’ = {1, 3, 5} = A
2. सार्वभौमिक सेट का पूरक (Complement of Universal Set)
U’ = ∅ (रिक्त समुच्चय)
अर्थात् सार्वभौमिक सेट का पूरक रिक्त समुच्चय होता है।
उदाहरण: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5}
तो U’ = ∅
3. रिक्त समुच्चय का पूरक (Complement of Empty Set)
∅’ = U
अर्थात् रिक्त समुच्चय का पूरक सार्वभौमिक सेट के बराबर होता है।
उदाहरण: यदि U = {1, 2, 3, 4, 5}
तो ∅’ = {1, 2, 3, 4, 5} = U
4. डी मॉर्गन का नियम (De Morgan’s Laws)
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
अर्थात्:
- दो सेटों के संघ (union) का पूरक, उन सेटों के पूरकों के प्रतिच्छेदन (intersection) के बराबर होता है।
- दो सेटों के प्रतिच्छेदन का पूरक, उन सेटों के पूरकों के संघ के बराबर होता है।
उदाहरण 1:
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} और B = {2, 3, 5, 8}
तो A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}
इसलिए (A ∪ B)’ = {4, 6, 9}
अब, A’ = {2, 4, 6, 8, 9} और B’ = {1, 4, 6, 7, 9}
अतः A’ ∩ B’ = {4, 6, 9}
जो (A ∪ B)’ के बराबर है।
उदाहरण 2:
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ A ∩ B = {3, 5}
इसलिए (A ∩ B)’ = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}
A’ ∪ B’ = {2, 4, 6, 8, 9} ∪ {1, 4, 6, 7, 9} = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}
जो (A ∩ B)’ के बराबर है।
5. अन्तर और पूरक में संबंध (Relation between Difference and Complement)
A – B = A ∩ B’
अर्थात् A और B के बीच का अन्तर, A और B के पूरक के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है।
उदाहरण:
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} और B = {2, 3, 5, 8}
तो B’ = {1, 4, 6, 7, 9}
और A ∩ B’ = {1, 7}
साथ ही, A – B = {1, 7}
अतः A – B = A ∩ B’
6. पूरकों के संबंध में अन्य गुण (Other Properties Related to Complements)
A. पूरकता का नियम (Law of Complementarity)
A ∪ A’ = U A ∩ A’ = ∅
अर्थात्:
- किसी सेट और उसके पूरक का संघ सार्वभौमिक सेट होता है।
- किसी सेट और उसके पूरक का प्रतिच्छेदन रिक्त समुच्चय होता है।
उदाहरण:
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3, 5}
तो A’ = {2, 4}
अतः A ∪ A’ = {1, 3, 5} ∪ {2, 4} = {1, 2, 3, 4, 5} = U
और A ∩ A’ = {1, 3, 5} ∩ {2, 4} = ∅
B. उपसमुच्चय के पूरक का गुण (Property of Complement of Subset)
यदि A ⊆ B, तो B’ ⊆ A’
अर्थात् यदि A, B का उपसमुच्चय है, तो B का पूरक, A के पूरक का उपसमुच्चय होगा।
उदाहरण:
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6} और B = {2, 4, 6, 8}
तो A ⊆ B (क्योंकि A के सभी तत्व B में भी हैं)
A’ = {1, 3, 5, 7, 8, 9} और B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
हम देखते हैं कि B’ ⊆ A’ (क्योंकि B’ के सभी तत्व A’ में भी हैं)
लघु मॉक टेस्ट (Short Mock Test)
सरल प्रश्न (Basic Questions)
- यदि A={1,3,5,7} और U={1,2,3,4,5,6,7,8}, तो A′ का मान क्या होगा?
- a) {2,4,6,8}
- b) {1,3,5,7}
- c) ∅
- d) U
- निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
- a) A∪A′=∅
- b) A∩A′=U
- c) A∪A′=U
- d) (A′)′=A′
- यदि U={a,b,c,d,e,f}, A={a,c,e} और B={b,c,d}, तो (A∪B)′ का मान क्या होगा?
- a) {a,e,f}
- b) {f}
- c) {a,b,c,d,e}
- d) {c}
- रिक्त समुच्चय (∅) का पूरक क्या होता है?
- a) ∅
- b) U
- c) ∅′
- d) इनमें से कोई नहीं
मध्यम प्रश्न (Intermediate Questions)
5. यदि A⊆B, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
- a) A′⊆B′
- b) B′⊆A′
- c) A′=B′
- d) A′∩B′=∅
- (A−B) का दूसरा रूप क्या है?
- a) A∩B
- b) A∩B′
- c) A′∩B
- d) A′∪B′
- यदि A={2,4,6,8} और B={1,2,3,4}, तो (A∩B)′ का मान क्या होगा? (U={1,2,3,4,5,6,7,8,9})
- a) {1,3,5,6,7,8,9}
- b) {5,6,7,8,9}
- c) {1,3,5,7,9}
- d) {6,8}
- डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, (A∩B)′= ?
- a) A′∩B′
- b) A′∪B′
- c) (A′)′∩(B′)′
- d) A∪B
उन्नत प्रश्न (Advanced Questions)
9. यदि A∩B=∅, तो B किसका उपसमुच्चय है?
- a) A
- b) A′
- c) U
- d) ∅
- यदि A∪B=U और A∩B=∅, तो B= ?
- a) A
- b) A′
- c) U
- d) ∅
उत्तरमाला (Answer Key)
- a
- c
- b
- b
- b
- b
- a
- b
- b
- b
व्याख्या (Explanation for Key Answers):
- Q10: यदि A∪B=U और A∩B=∅, तो B को A का पूरक होना चाहिए (B=A′), क्योंकि पूरक सेट के परिभाषा के अनुसार A∪A′=U और A∩A′=∅.