- अपकिरण के माप (Measures of Dispersion)
- अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए गणना विधियाँ (Calculation Methods for Ungrouped Data)
- वर्गीकृत आंकड़ों के लिए गणना विधियाँ (Calculation Methods for Grouped Data)
- अपकिरण गुणांक (Coefficient of Dispersion)
- विभिन्न अपकिरण मापों की तुलना (Comparison of Different Measures of Dispersion)
- व्यावहारिक उदाहरण (Practical Examples)
- अपकिरण के अनुप्रयोग (Applications of Dispersion)
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अपकिरण के माप (Measures of Dispersion)
सांख्यिकी में अपकिरण का अर्थ है आंकड़ों का केंद्रीय मान से विचलन या फैलाव। अपकिरण के माप हमें बताते हैं कि आंकड़े एक दूसरे से कितने भिन्न हैं या केंद्रीय मान से कितने दूर हैं।
1. विस्तार (Range)
परिभाषा: विस्तार आंकड़ों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के बीच का अंतर होता है।
सूत्र: विस्तार = अधिकतम मान – न्यूनतम मान
उदाहरण: यदि आंकड़े हैं: 10, 15, 20, 25, 30
- अधिकतम मान = 30
- न्यूनतम मान = 10
- विस्तार = 30 – 10 = 20
गुण और सीमाएँ:
- सरल और समझने में आसान
- केवल दो चरम मूल्यों पर निर्भर करता है
- मध्यवर्ती मूल्यों की उपेक्षा करता है
- अत्यधिक मूल्यों से प्रभावित होता है
2. माध्य विचलन (Mean Deviation)
परिभाषा: माध्य विचलन सभी आंकड़ों के उनके केंद्रीय मान (आमतौर पर माध्य या माध्यिका) से निरपेक्ष विचलनों का औसत होता है।
सूत्र:
- अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए: M.D. = Σ|x – A| / n
- जहां A केंद्रीय मान है (माध्य या माध्यिका)
- |x – A| निरपेक्ष विचलन है
- n आंकड़ों की संख्या है
- वर्गीकृत आंकड़ों के लिए: M.D. = Σf|x – A| / Σf
उदाहरण (माध्य से): यदि आंकड़े हैं: 4, 8, 10, 12, 16
- माध्य = (4 + 8 + 10 + 12 + 16) / 5 = 50 / 5 = 10
- निरपेक्ष विचलन:
- |4 – 10| = 6
- |8 – 10| = 2
- |10 – 10| = 0
- |12 – 10| = 2
- |16 – 10| = 6
- माध्य विचलन = (6 + 2 + 0 + 2 + 6) / 5 = 16 / 5 = 3.2
गुण और सीमाएँ:
- सभी आंकड़ों का उपयोग करता है
- निरपेक्ष विचलन का उपयोग गणितीय विश्लेषण को कठिन बनाता है
- सरल प्रसरण के लिए कम उपयोगी है
3. प्रसरण (Variance)
परिभाषा: प्रसरण सभी आंकड़ों के उनके माध्य से विचलनों के वर्गों का औसत होता है।
सूत्र:
- अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए: σ² = Σ(x – μ)² / n
- जहां μ माध्य है
- n आंकड़ों की संख्या है
- वर्गीकृत आंकड़ों के लिए: σ² = Σf(x – μ)² / Σf
उदाहरण: यदि आंकड़े हैं: 4, 8, 10, 12, 16
- माध्य (μ) = 10
- विचलन के वर्ग:
- (4 – 10)² = 36
- (8 – 10)² = 4
- (10 – 10)² = 0
- (12 – 10)² = 4
- (16 – 10)² = 36
- प्रसरण = (36 + 4 + 0 + 4 + 36) / 5 = 80 / 5 = 16
गुण:
- सभी आंकड़ों का उपयोग करता है
- गणितीय रूप से उपयोगी होता है
- मूल आंकड़ों के इकाइयों के वर्ग में होता है
4. मानक विचलन (Standard Deviation)
परिभाषा: मानक विचलन प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल होता है।
सूत्र: σ = √σ²
उदाहरण: यदि प्रसरण 16 है, तो मानक विचलन = √16 = 4
गुण:
- मूल आंकड़ों के समान इकाइयों में होता है
- सांख्यिकी और अन्य क्षेत्रों में अत्यधिक उपयोगी
- प्रसामान्य वितरण में, लगभग 68% आंकड़े (माध्य ± 1σ) के भीतर होते हैं
अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए गणना विधियाँ (Calculation Methods for Ungrouped Data)
प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
इस विधि में, हम सीधे सूत्रों का उपयोग करते हैं।
उदाहरण: आंकड़े: 5, 8, 12, 15, 20
- विस्तार:
- विस्तार = 20 – 5 = 15
- माध्य विचलन:
- माध्य (μ) = (5 + 8 + 12 + 15 + 20) / 5 = 60 / 5 = 12
- निरपेक्ष विचलन: |5-12| = 7, |8-12| = 4, |12-12| = 0, |15-12| = 3, |20-12| = 8
- माध्य विचलन = (7 + 4 + 0 + 3 + 8) / 5 = 22 / 5 = 4.4
- प्रसरण:
- विचलन के वर्ग: (5-12)² = 49, (8-12)² = 16, (12-12)² = 0, (15-12)² = 9, (20-12)² = 64
- प्रसरण = (49 + 16 + 0 + 9 + 64) / 5 = 138 / 5 = 27.6
- मानक विचलन:
- मानक विचलन = √27.6 ≈ 5.25
अनुमानित माध्य विधि (Assumed Mean Method)
यह विधि गणना को सरल बनाती है, विशेष रूप से बड़े आंकड़ों के लिए।
उदाहरण: आंकड़े: 25, 28, 30, 32, 35
- माना कि अनुमानित माध्य (A) = 30
- विचलन (d) = x – A:
- 25 – 30 = -5
- 28 – 30 = -2
- 30 – 30 = 0
- 32 – 30 = 2
- 35 – 30 = 5
- Σd = -5 + (-2) + 0 + 2 + 5 = 0
- Σd² = 25 + 4 + 0 + 4 + 25 = 58
- प्रसरण = Σd²/n = 58/5 = 11.6
- मानक विचलन = √11.6 ≈ 3.4
वर्गीकृत आंकड़ों के लिए गणना विधियाँ (Calculation Methods for Grouped Data)
प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
उदाहरण: निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
| वर्ग अंतराल | आवृत्ति (f) | वर्ग मध्य (x) | fx | fx² |
| 0-10 | 4 | 5 | 20 | 100 |
| 10-20 | 6 | 15 | 90 | 1350 |
| 20-30 | 10 | 25 | 250 | 6250 |
| 30-40 | 5 | 35 | 175 | 6125 |
| 40-50 | 5 | 45 | 225 | 10125 |
| कुल | 30 | 760 | 23950 |
- माध्य (μ) = Σfx / Σf = 760 / 30 = 25.33
- प्रसरण (σ²) = Σfx² / Σf – μ² = 23950 / 30 – (25.33)² = 798.33 – 641.61 = 156.72
- मानक विचलन (σ) = √156.72 ≈ 12.52
अनुमानित माध्य विधि (Assumed Mean Method)
उदाहरण: उपरोक्त आंकड़ों के लिए, मानते हुए A = 25:
| वर्ग अंतराल | f | x | d = x-A | fd | fd² |
| 0-10 | 4 | 5 | -20 | -80 | 1600 |
| 10-20 | 6 | 15 | -10 | -60 | 600 |
| 20-30 | 10 | 25 | 0 | 0 | 0 |
| 30-40 | 5 | 35 | 10 | 50 | 500 |
| 40-50 | 5 | 45 | 20 | 100 | 2000 |
| कुल | 30 | 10 | 4700 |
- Σfd / Σf = 10 / 30 = 0.33
- प्रसरण = Σfd² / Σf – (Σfd / Σf)² = 4700 / 30 – (0.33)² = 156.67 – 0.11 = 156.56
- मानक विचलन = √156.56 ≈ 12.51
सारणी स्थानांतर विधि (Step Deviation Method)
इस विधि में, हम गणना को और सरल बनाने के लिए वर्ग अंतराल के आकार से विभाजित करते हैं।
उदाहरण: उपरोक्त आंकड़ों के लिए, वर्ग अंतराल h = 10 और A = 25:
| वर्ग अंतराल | f | x | d = x-A | u = d/h | fu | fu² |
| 0-10 | 4 | 5 | -20 | -2 | -8 | 16 |
| 10-20 | 6 | 15 | -10 | -1 | -6 | 6 |
| 20-30 | 10 | 25 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 30-40 | 5 | 35 | 10 | 1 | 5 | 5 |
| 40-50 | 5 | 45 | 20 | 2 | 10 | 20 |
| कुल | 30 | 1 | 47 |
- Σfu / Σf = 1 / 30 = 0.033
- प्रसरण = h² × [Σfu² / Σf – (Σfu / Σf)²] = 10² × [47 / 30 – (0.033)²] = 100 × [1.567 – 0.001] = 100 × 1.566 = 156.6
- मानक विचलन = √156.6 ≈ 12.51
अपकिरण गुणांक (Coefficient of Dispersion)
अपकिरण गुणांक सापेक्ष अपकिरण का माप है जो विभिन्न समूहों की तुलना के लिए उपयोगी होता है।
प्रकार:
- विस्तार गुणांक: विस्तार गुणांक = विस्तार / (अधिकतम + न्यूनतम)
- चतुर्थक विचलन गुणांक: Q.D.C. = (Q₃ – Q₁) / (Q₃ + Q₁)
- माध्य विचलन गुणांक: M.D.C. = माध्य विचलन / माध्य
- भिन्नता गुणांक (C.V.): C.V. = (मानक विचलन / माध्य) × 100
उदाहरण: यदि मानक विचलन 12.51 और माध्य 25.33 है, तो:
- भिन्नता गुणांक (C.V.) = (12.51 / 25.33) × 100 = 49.39%
विभिन्न अपकिरण मापों की तुलना (Comparison of Different Measures of Dispersion)
- विस्तार:
- लाभ: सरल और समझने में आसान
- सीमाएँ: केवल अंतिम मूल्यों पर निर्भर, अत्यधिक मानों से प्रभावित
- माध्य विचलन:
- लाभ: सभी आंकड़ों का उपयोग करता है, अत्यधिक मानों से कम प्रभावित
- सीमाएँ: गणितीय विश्लेषण के लिए कम उपयुक्त
- मानक विचलन:
- लाभ: सभी आंकड़ों का उपयोग करता है, गणितीय विश्लेषण के लिए उपयुक्त, मूल आंकड़ों के समान इकाइयों में
- सीमाएँ: गणना अपेक्षाकृत जटिल, अत्यधिक मानों से प्रभावित हो सकता है
व्यावहारिक उदाहरण (Practical Examples)
उदाहरण 1: परीक्षा अंकों का विश्लेषण
निम्नलिखित आंकड़े दो विभिन्न कक्षाओं के छात्रों के अंकों को दर्शाते हैं:
कक्षा A: 65, 70, 75, 80, 85 कक्षा B: 55, 65, 75, 85, 95
समाधान:
कक्षा A:
- माध्य = (65 + 70 + 75 + 80 + 85) / 5 = 375 / 5 = 75
- विचलन के वर्ग: (65 – 75)² = 100 (70 – 75)² = 25 (75 – 75)² = 0 (80 – 75)² = 25 (85 – 75)² = 100
- प्रसरण = (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / 5 = 250 / 5 = 50
- मानक विचलन = √50 ≈ 7.07
- C.V. = (7.07 / 75) × 100 = 9.43%
कक्षा B:
- माध्य = (55 + 65 + 75 + 85 + 95) / 5 = 375 / 5 = 75
- विचलन के वर्ग: (55 – 75)² = 400 (65 – 75)² = 100 (75 – 75)² = 0 (85 – 75)² = 100 (95 – 75)² = 400
- प्रसरण = (400 + 100 + 0 + 100 + 400) / 5 = 1000 / 5 = 200
- मानक विचलन = √200 ≈ 14.14
- C.V. = (14.14 / 75) × 100 = 18.85%
निष्कर्ष: दोनों कक्षाओं का माध्य समान (75) है, लेकिन कक्षा B का मानक विचलन (14.14) कक्षा A के मानक विचलन (7.07) से अधिक है। इसका अर्थ है कि कक्षा B में अंकों का फैलाव अधिक है, जबकि कक्षा A के अंक अधिक एकसमान हैं।
उदाहरण 2: वर्गीकृत आंकड़ों का विश्लेषण
निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए मानक विचलन ज्ञात कीजिए:
| वेतन (₹ हजार में) | कर्मचारियों की संख्या |
|---|---|
| 10-20 | 15 |
| 20-30 | 25 |
| 30-40 | 33 |
| 40-50 | 20 |
| 50-60 | 7 |
समाधान:
| वेतन | f | x | fx | fx² |
| 10-20 | 15 | 15 | 225 | 3375 |
| 20-30 | 25 | 25 | 625 | 15625 |
| 30-40 | 33 | 35 | 1155 | 40425 |
| 40-50 | 20 | 45 | 900 | 40500 |
| 50-60 | 7 | 55 | 385 | 21175 |
| कुल | 100 | 3290 | 121100 |
- माध्य (μ) = Σfx / Σf = 3290 / 100 = 32.9
- प्रसरण (σ²) = Σfx² / Σf – μ² = 121100 / 100 – (32.9)² = 1211 – 1082.41 = 128.59
- मानक विचलन (σ) = √128.59 ≈ 11.34
निष्कर्ष: कर्मचारियों के वेतन का मानक विचलन 11.34 हजार रुपये है। यह दर्शाता है कि वेतन में अपेक्षाकृत अधिक असमानता है।
अपकिरण के अनुप्रयोग (Applications of Dispersion)
- गुणवत्ता नियंत्रण:
- कारखानों में उत्पादों की एकरूपता की जांच करने के लिए
- उत्पादन प्रक्रिया की स्थिरता का आकलन करने के लिए
- वित्तीय विश्लेषण:
- निवेश के जोखिम के स्तर का अनुमान लगाने के लिए
- विभिन्न निवेश विकल्पों की तुलना करने के लिए
- शैक्षिक अनुसंधान:
- विभिन्न शिक्षण विधियों की प्रभावशीलता की तुलना
- छात्रों के प्रदर्शन में अंतर का विश्लेषण
- मौसम विज्ञान:
- तापमान और वर्षा में मौसमी परिवर्तनों का अध्ययन
- जलवायु परिवर्तन के प्रभावों का विश्लेषण
मॉक टेस्ट – अपकिरण के माप
प्रश्न 1:
विस्तार का सूत्र क्या है?
a) अधिकतम मान + न्यूनतम मान
b) अधिकतम मान – न्यूनतम मान
c) (अधिकतम मान – न्यूनतम मान) / 2
d) अधिकतम मान × न्यूनतम मान
सही उत्तर: b) अधिकतम मान – न्यूनतम मान
प्रश्न 2:
माध्य विचलन की गणना के लिए किस केंद्रीय मान का उपयोग किया जाता है?
a) माध्य
b) माध्यिका
c) बहुलक
d) a और b दोनों
सही उत्तर: d) a और b दोनों
प्रश्न 3:
प्रसरण का मात्रक क्या होता है?
a) मूल आंकड़ों के इकाई के समान
b) मूल आंकड़ों के इकाई के वर्ग
c) मूल आंकड़ों के इकाई का वर्गमूल
d) इनमें से कोई नहीं
सही उत्तर: b) मूल आंकड़ों के इकाई के वर्ग
प्रश्न 4:
मानक विचलन क्या होता है?
a) प्रसरण का घनमूल
b) प्रसरण का वर्ग
c) प्रसरण का वर्गमूल
d) प्रसरण का व्युत्क्रम
सही उत्तर: c) प्रसरण का वर्गमूल
प्रश्न 5:
निम्नलिखित में से कौन-सा अपकिरण का सापेक्ष माप है?
a) विस्तार
b) माध्य विचलन
c) भिन्नता गुणांक
d) प्रसरण
सही उत्तर: c) भिन्नता गुणांक
प्रश्न 6:
यदि किसी डेटासेट का माध्य 50 और मानक विचलन 10 है, तो भिन्नता गुणांक क्या होगा?
a) 10%
b) 20%
c) 50%
d) 100%
सही उत्तर: b) 20%
(हल: C.V. = (मानक विचलन / माध्य) × 100 = (10 / 50) × 100 = 20%)
प्रश्न 7:
वर्गीकृत आंकड़ों के लिए प्रसरण का सूत्र क्या है?
a) Σ(x – μ)² / n
b) Σf(x – μ)² / Σf
c) Σ|x – A| / n
d) Σfx² / Σf
सही उत्तर: b) Σf(x – μ)² / Σf
प्रश्न 8:
निम्नलिखित में से कौन-सा अपकिरण का माप अत्यधिक मानों से सबसे कम प्रभावित होता है?
a) विस्तार
b) माध्य विचलन
c) मानक विचलन
d) भिन्नता गुणांक
सही उत्तर: b) माध्य विचलन
प्रश्न 9:
यदि दो डेटासेट का माध्य समान है, लेकिन एक का मानक विचलन दूसरे से अधिक है, तो इसका क्या अर्थ है?
a) दोनों डेटासेट समान हैं
b) मानक विचलन वाले डेटासेट में फैलाव अधिक है
c) मानक विचलन वाले डेटासेट में फैलाव कम है
d) दोनों डेटासेट में फैलाव शून्य है
सही उत्तर: b) मानक विचलन वाले डेटासेट में फैलाव अधिक है
प्रश्न 10:
अनुमानित माध्य विधि का उपयोग किस प्रकार के आंकड़ों के लिए उपयुक्त है?
a) छोटे आंकड़ों के लिए
b) बड़े आंकड़ों के लिए
c) अवर्गीकृत आंकड़ों के लिए
d) b और c दोनों
सही उत्तर: d) b और c दोनों
इन प्रश्नों को हल करके आप अपकिरण के मापों की अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं। अधिक अभ्यास के लिए अपने नोट्स और उदाहरणों का उपयोग करें।